Question

Сколько всего формул площади треугольника?

Все формулы площади треугольника.

Answer 1

1. Половина произведения длины основания треугольника, умноженная на высоту этого треугольника.
2. Произведение всех трех сторон треугольника, деленное на 4 и деленное на радиус описанной через вершины треугольника окружности.
3. Формула Герона:
   

здесь a, b, c - стороны треугольника, S - его площадь. Иногда формулу Герона записывают через полупериметр р.

1. Площадь равностороннего треугольника: четверть квадрата стороны, умноженная на √3.
2. Для него же: треть квадрата высоты, умноженная на √3.
3. Для него же: 3/4 квадрата радиуса описанной окружности, умноженная на √3.
4. Утроенный квадрат радиуса вписанной окружности, умноженный на √3.

И еще есть по крайней мере четыре формулы расчета площади произвольного треугольника через длину его сторон и синусы, или котангенсы соответствующих углов. Некоторые из этих формул очень громоздкие. Для правильного треугольника они упрощаются.

Есть формулы и для сферических треугольников.

Answer 2

Формулы площади треугольника:

1) Через длину основания и высоту, опущенную на это основание: S = a*h(a)/2

2) Через две стороны и угол между ними: S = 1/2*a*b*sin C. (C - угол между сторонами а и b).

3) Формула Герона через 3 стороны: S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)], где p = (a+b+c)/2 - полупериметр.

4) Через 3 стороны и радиус описанной окружности: S = abc/(4R)

5) Через 3 стороны и радиус вписанной окружности: S = pr = (a+b+c)*r/2

Хотя две последние формулы чаще используются наоборот: чтобы найти радиусы окружностей через стороны и площадь.

6) Для прямоугольного треугольника с катетами а и b: S = a*b/2

7) Для равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b: S = (p-b)*√[p(p-a)] = a/4*√(4b^2-a^2)

8) Для равностороннего треугольника со стороной а: S = a^2*√3/4 = h^2*√3/3 = 3R^2/4*√3 = 3r^2*√3

Answer 3

Все формулы площади треугольника:

• S = 0,5 х a х h
• S = 0,5 х a х b х sin C
• S = √[p х ( p - a ) х ( p - b ) х ( p - c ) ] ` - формула Герона
• S = a х b х c / (4 х R)
• S = p х r = 0,5 х ( a + b + c ) х r

где

a, b, с - длины сторон треугольника;

h - высота треугольника;

C - угол между сторонами а и b;

p - полупериметр, p = ( a + b + c ) / 2;

R - радиус описанной окружности;

r - радиус вписанной окружности.

Все остальные формулы являются следствием пяти вышеприведенных.