Question

Дан параллелограмм ARLT. В нем проведено несколько линий.

Даны площади некоторых из полученных фигур. Длины сторон и отрезков на сторонах (AS, AP, IL и т.д.) и внутри - неизвестны.

Обратите внимание: является ли параллелограммом фигура ASLI - неизвестно!

Как найти площадь оранжевого треугольника?

Я тут недавно задал шуточную задачу про гирлянду, так вот: эта задача - совершенно серьезная и очень трудная!

Бонус в 50 кредитов я даю не зря!

Answer 1

У меня получилось такое решение:

• S(TAP)+S(PLR)=0.5*AP­<wbr />*h+0.5*PR*h=

=0.5*AR*h=0.5*S(TARL­<wbr />)

• S(LSI)+S(IAR)=0.5*LI­<wbr />*h+0.5*IR*h=

=0.5*LR*h=0.5*S(TARL­<wbr />)

• то есть, S(TAP)+S(PLR)=S(LSI)­<wbr />+S(IAR)

• ?+74+5+(сумма белых S)=

=67+13+(сумма белых S)

• То, что в скобках сокращается,
• ?+74+5=67+13
• ?=1

Площадь оранжевого треугольника равна 1

Answer 2

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться знаменитой теоремой ковров (the carpet theorem), согласно которой "Если два ковра одинаковой площади перекрывают друг друга, то, не считая перекрытия, их оставшиеся части имеют равные площади".

Спрашивается, при чём тут ковры к нашему параллелограмму?

Представим, что у нас есть два куска ковра, которые покрывают наш параллелограм полностью: Один кусок - ∆TPL, а остаток - фигура, ограниченная замкнутой ломаной A-T-P-L-R-A. Площадь ∆TPL и сумма площадей ∆ATP и ∆PLR равна. Как это доказать?

Проведём линию, параллельную сторонам параллелограмма, от точки P на сторону TL в условную точку O.

∆TPO=∆TPA по второму признаку - у них общая сторона TP и равные прилегающие углы. Угол ATP углу TPO как внутренние накрест лежащие при параллельных AT и PO при секущей TP. Углы APT и PTO тоже равны по той же причине, но при параллельных AR и TL c секущей TP.

Аналогичным образом ∆RPL=∆OLP. Таким образом, площадь ∆TPL = 1/2 площади параллелограмма.

Теперь возьмёмся за иной ковёр из двух кусков.

Площадь фигуры, ограниченной замкнутой ломаной A-I-S-L-R-A равна площади многоугольника

AISLTA, и тоже равна 1/2 площади параллелограмма. Почему я так решил?

Проведем через точки I и S прямые, параллельные AR и TL (на картинке изобразил зелёным).

Каждая пара получившихся треугольников будет равной по тому же второму признаку равенства треугольников.

∆BSL=∆TLS (общая сторона и примыкающие углы равны как внутренние разносторонние при двух параллельных и секущей), ∆IDS=∆SBI, а ∆AID=∆DIS. А поскольку у нас площади этих фигур являются произведением сумм площадей треугольников (красных или соответственно белых на картинке 2), то и получаем, что эти два куска равны по площади, хоть и не обязательно одинаковы по форме.

Таким образом, мы доказали, что площадь ∆TPL = ∆AIS + ∆STL = половине площади параллелограмма S/2

Наконец, приступаем к поиску неизвестной. У нас есть две фигуры, площадь которых равна, хоть они и принципиально отличаются по форме. Это и есть наши два "ковра" AIS + STL и ∆TPL. Они накладываются друг на друга, образовывая фигуры c неизвестной площадью y и z (на картинке 3 - выделены зелёным).

Итак, у нас есть два варианта - либо используем указанное в начале определение из теоремы ковров, либо выводим это самостоятельно.

• В варианте 1 нас не интересуют уже y и z, так как

Х+74+5=13+67

X+79=80

x=80-79=1

• В варианте 2 мы просто идём через доказанное ранее равенство площадей фигур и подставляем имеющиеся данные:

∆TPL = z+67+y+13

∆AIS + ∆STL = x+z+74+y+5

x+z+74+y+5=z+67+y+13

x+z-z+y-y=67+13-74-5

x=80-79

x=1

Ответ - площадь оранжевого треугольника равна 1

НА самом деле, задача решается легко в одно действие если увидеть сразу эти "ковры" и не доказывать заново теорему.

Еще есть интересное видео на эту же тематику с похожей задачкой. Индийский акцент немного решет уши даже понимающим английский язык, но очень наглядно видно пояснение теоремы.

Answer 3

Совсем недавно решал подобную задачку, правда с зеркальным изображением и другими данными ( кстати, на вашем рисунке точка S должна быть ближе к точке T ;-)

Решать можно, как минимум двумя способами, только рисунки я немного изменил и дополнил: площадь синего треугольника равна сумме площадей красных треугольников и обе они равны половине площади параллелограмма.

Вариант первый:

В этом случае площадь синего треугольника LPT можно представить в виде суммы площадей четырёх фигур

Sc = 13 + A + 67 + C = A + C + 80

Сумму же площадей красных треугольников AIS и SLT можно представить в виде суммы площадей их пяти частей

Sк = ( 74 + А + 5 ) + ( Х + С ) = А + С + 79 + Х

Так как площадь синего треугольника LPT равна сумме площадей красных треугольников AIS и SLT, то можно составить равенство:

A + C + 80 = А + С + 79 + Х

Х = ( A + C + 80 ) - ( А + С + 79 )

Х = А + С + 80 - А - С - 79

Х = 1 площадь маленького оранжевого треугольника

<hr />

Вариант второй:

В этом случае сумма площадей синих треугольников ATP и PLR равна сумме площадей красных треугольников RAI и ISL.

Сумму площадей синих треугольников ATP и PLR можно представить в виде суммы площадей их семи фрагментов:

Sc = ( A + 74 + E + X ) + ( B + 5 + C ) = A + B + C + Е + X + 79

Сумму площадей красных треугольников RAI и ISL можно представить в виде суммы площадей их шести фрагментов:

Sк = ( А + 13 + В ) + ( Е + 67 + С ) = А + В + С + Е + 80

Так как сумма площадей синих треугольников равна сумме площадей красных треугольников, то можно составить равенство:

A + B + C + Е + X + 79 = А + В + С + Е + 80

X = ( А + В + С + Е + 80 ) - ( A + B + C + Е + 79 )

Х = 1

<hr />

В общем, как не крути,

Ответ: площадь оранжевого треугольника равна 1

Answer 4

Какая "эта задача — совершенно серьезная и очень трудная!" ?

Про оранжевый треугольник?

Это устная задача для подготовительного класса церковно-приходской школы.

Откуда, x = 1.