Для олимпиады это несложная задача. Раз уж треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90°. Пусть а – длина одного из катетов. Это известная величина. Обозначим через х неизвестную длину второго катета и у – длина гипотенузы (тоже неизвестная величина). Длина второго известного отрезка d равна сумме длин второго катета и гипотенузы d = х + у. Отсюда выразим длину гипотенузы через длину второго катета и известной величины d:
у = d – х (1)
Еще раз повторю, что величины d и а мы знаем. Неизвестны х и у. То есть в уравнении (1) две неизвестные величины. Надо еще одно уравнение, чтобы найти 2 неизвестные величины. Так как треугольник прямоугольный, то используем теорему Пифагора, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть, а² + х² = у² или
у² - х² = а² (2)
Итак, получили 2 уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными х и у. Из уравнения (1) величину у подставим в уравнение (2). Имеем (d – х)² - х² = а². Вычисляем d² - 2dх + х² - х² = а². То есть d² - 2dх = а². Отсюда находим неизвестную величину х = (d² - а²)/2 d. Подставляем это выражение в уравнение (1) и находим у = d – х = d - (d² - а²)/2 d. Итак, мы вычислили величину второго катета и гипотенузы через известные величины
х = (d² - а²)/2d (3)
у = d – х = d - (d² - а²)/2d (4)
Проверим эти формулы. Пусть а = 3 и d = 9. Из формулы (3) находим х = 4 (это длина второго катета) и у = 5 – это длина гипотенузы.
Для этого, на сторонах треугольника сделаем отметки, которые делят стороны на половинки. Эти отметки соединим линиями. В итоге получим четыре одинаковых треугольника. Результат не зависит от того, какой треугольник, прямоугольный или нет. Просто подобие переходит в равенство при одинаковых сторонах и углах.
Когда треугольник лежит не на плоскости. Например, треугольник на поверхности сферы легко может иметь три прямых угла, в сумме составляющих 270 градусов.
Предположим, что Δ PMA вырожденный и все его точки слились в одну точку А (ну или почти слились, так что S ΔPMA → 0).
Тогда Δ ABC будет являться равносторонним.
S четырехугольника ВМРС = S ΔABC = √[p х ( p - a ) х ( p - b ) х ( p - c ) ] ` - формула Герона,
где
p - полупериметр, p = ( a + b + c ) / 2
a, b, с - длины сторон треугольника
Так как треугольник равносторонний, то формула Герона примет вид:
S четырехугольника ВМРС = SΔABC = а^2 х √3 / 4
S четырехугольника ВМРС = √108 х √3 / 4 = √324 / 4 = 4,5
Ps. не знаю зачем вспомнил формулу Герона, можно было бы и по обычной S = 0,5 х a х b х sin C. Стирать уже не хочу.
Ответ: площадь невыпуклого четырехугольника ВМРС равна 4,5.
Из школьной программы по геометрии нам известно, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. По условию задачи один угол составляет - 8 частей, второй - 4 части и третий - 6 частей.
1.Нам надо определить сколько всего частей 8 + 4 + 6 = 18 (частей).
2.Теперь узнаем сколько градусов в 1 части: 180 : 18 = 10(градусов).
3.10 х 8 = 80 (градусов)
4.10 х 4 = 40 (градусов)
5.10 х 6 = 60 (градусов)
Ответ: 1-ый угол 80 градусов; 2-ой угол 40 градусов; 3-ий угол 60 градусов.
