Question

В треугольник вписана окружность. Как решить?

Есть треугольник АВС, сторона ВС = корню 4 степени из 108. Угол А = 60 градусов.

Середина ВС точка D.

В треугольник вписана окружность с центром О.

Провели прямую OD. Она пересекла АВ в точке М и продолжение АС в точке Р.

Требуется найти площадь не выпуклого 4-угольника ВМРС.

К сожалению, я сижу с телефона и рисунок приложить не могу.

Answer 1

Я придумал такое решение.

Треугольник не определяется одной стороной и одним углом.

Таких треугольников может быть сколько угодно, а площадь 4-угольника от этого не зависит.

Предположим, что треугольник был равнобедренный.

Тогда отрезок, соединяющий середину основания с центром вписанной окружности - это медиана, она же биссектриса и высота.

Она пересекает обе стороны, АС и АВ, в вершине А.

То есть точки М и Р совпадают с А, и 4-угольник ВМРС вырождается в наш треугольник АВС.

А поскольку он равнобедренный с углом 60°, то он равносторонний.

Площадь равностороннего треугольника со стороной а

S = a^2*√3/4 = √108*√3/4 = √(9*4*3*3)/4 = 18/4 = 9/2.

Answer 2

Предположим, что Δ PMA вырожденный и все его точки слились в одну точку А (ну или почти слились, так что S ΔPMA → 0).

Тогда Δ ABC будет являться равносторонним.

S четырехугольника ВМРС = S ΔABC = √[p х ( p - a ) х ( p - b ) х ( p - c ) ] ` - формула Герона,

где

p - полупериметр, p = ( a + b + c ) / 2

a, b, с - длины сторон треугольника

Так как треугольник равносторонний, то формула Герона примет вид:

S четырехугольника ВМРС = SΔABC = а^2 х √3 / 4

S четырехугольника ВМРС = √108 х √3 / 4 = √324 / 4 = 4,5

Ps. не знаю зачем вспомнил формулу Герона, можно было бы и по обычной S = 0,5 х a х b х sin C. Стирать уже не хочу.

Ответ: площадь невыпуклого четырехугольника ВМРС равна 4,5.

Answer 3

Если в треугольнике АВС сторона ВС равна корню 4 степени из 108 и угол А = 60 градусов, то площадь невыпуклого четырехугольника ВМРС равна 4,5.

Ответ: площадь невыпуклого четырехугольника ВМРС равна 4,5.