Question

Как решать подобные задачи по геометрии?

Дан треугольник. Один угол треугольника равен альфа градусов (здесь конкретное число).

Второй угол - между медианой и биссектрисой, равен бета градусов (здесь тоже какое-то число).

Доказать, что треугольник равнобедренный.

Я понимаю, что он будет равнобедренный только при определённом соотношении углов альфа и бета, но допустим, что числа правильные.

Как провести само доказательство?

Возможно, я что-то забыл. Например, нужно знать какой-то третий угол. Меня сам принцип интересует.

Answer 1

Похоже, что автор вопроса столкнулся с тупиковой ситуацией, когда часть информации потеряна. В данном случае отсутствуют графические данные, без которых постановка условий и решение большинства геометрических задач не представляется возможным. Что же, бывает.

Картинок, подходящих под описание данной задачи, насчитывается около двух десятков. Из них следует сразу исключить случай, когда медиана и биссектриса выходят из одного угла, расположенного напротив основания, так как в равнобедренном треугольнике они не пересекаются, то есть угол бета (^b) равен нулю, то и говорить про угол альфа (^a) не имеет смыла.

Из возможных вариантов картинок можно выбрать одну:

Здесь биссектриса выходит из угла ВАС равного ^a, медиана СD пересекает биссектрису под углом ^b, расположенного напротив основания треугольника.

Равнобедренный треугольник обладает некоторыми признаками, которых не имеют треугольники с разными сторонами:

По первому свойству угол ВСА должен быть равен ^a. Предположим, что это так и есть:

ВСА = ^a.

Очевидно, что

ACD = 180° - ^a/2 - ^b,

ВСD = ВСА - ACD = ^a - (180° - ^a/2 - ^b) = ^a - 180° + ^a/2 + ^b.

Получаем

ВСА = ВСD + ACD = ^a - 180° + ^a/2 + ^b + 180° - ^a/2 - ^b = ^a.

Как видим, конкретных цифровых значений ^a и ^b не потребовалось.

<hr />

Конечно, возможны и другие рисунки к задаче. Возможно, что этот самый простой вариант. Например, задание иного расположения углов будет удлинять описание решения.

Может быть, стоит создать такой вопрос «Сколько существует вариантов рисунков, подходящих под описание задачи?».

<hr />

По поводу трудностей выцеживания информации из поисковиков. Иногда, приходится отказываться от идеи найти её по ключевым словам, потому что текст списан с нетекстовых файлов, а отсканированных. В таком случае остаётся поиск по теме и просмотр фолиантов по «подозрительным» разделам. Трудно, но помогало.

Answer 2

Если медиана и биссектриса проведены из разных углов равнобедренного треугольника, то эти углы при основании. Следовательно, условию соответствует треугольник АВС, изображенный на рисунке. Здесь СЕ – биссектриса, АD = m – медиана.

Известны: углы α и β. Для доказательства равнобедренности треугольника достаточно вычислить уголβ при заданном угле α при основании. Если вычисленный угол соответствует исходному углу β, то треугольник равнобедренный, в противном случае нет.

Допустим, треугольник АВС равнобедренный. Тогда по теореме синусов

b/sin B = c/sin C или b/sin(180⁰ - 2α) = a/sin α. Откуда

b = a*sin(2α)/sin α = 2a*cos α.

Медиана, выражается через стороны треугольника формулой

m = √(2b² +2c² - a²)/2 , делаем подстановку значений b и с.

m = a √(8*cos² α + 1).

Из треугольника АDС по теореме синусов -

a/2sin γ = m/ sin α, тогда

sin γ = a*sin α/(a √(8*cos² α + 1)) = sin α/(√(8*cos² α + 1)).

Вычисляем искомый угол в треугольнике АОС

β = 180⁰ - α/2 – γ.

На втором рисунке предоставлена таблица соответствия углов α и β.

Answer 3

Принцип:вывести доказательство на равенство двух треугольников,образо­<wbr />ванных бессектрисой(общая сторона) и двумя медианами по теореме о равенстве треугольников по стороне и двум прилегающим к ней углам. Наружные стороны- бедра искомого треугольника.

Answer 4

Ну, что можно сказать тут?

Если угол бета равен нуль градусов, то треугольник точно равнобедренный и обе совпадающие линии - медиана и биссектриса как раз выходят из того угла, из которого выходят равные рёбра треугольника.

Если бета не нуль - то более ничего из исходной информации извлечь невозможно.