Как найти площадь круга, вписанного в правильный треугольник со стороной?
3 ответа:
Пару дней тому назад мне довелось отвечать на один довольно интересный вопрос о периметрах треугольника и квадрата. И там был показан перечень стандартных формул, применяемых в тех случаях, когда мы имеем дело с равносторонними треугольниками.
В тот раз потребовалась формула из нижней строки, но теперь наиболее подходящей оказалась самая первая, непосредственно касающаяся вписанной окружности. Как видно, радиус этой окружности, как и вписанного круга, будет равен произведению стороны треугольника на квадратный корень из трёх, разделённому на шесть.
Но что мы можем сделать с этой формулой и знанием того, что согласно заданию сторона треугольника равна 8√6 см? Во-первых, можно выразить радиус через эту сторону, используя только что найденную формулу.
Но нас интересует площадь вписанного круга, а для этого потребуется отыскать другой набор формул, что также не составит большого труда. Можно открыть школьный учебник, найти соответствующую страницу в Википедии или просто посмотреть на следующую вырезку:
С другой стороны, мне думается, что многие из вас хорошо помнят нужную формулу и без подсказок. Случается, что народ путает площадь круга с длиной окружности, но такое случается редко. Чаще всё-таки в памяти всплывает:
Что же, давайте подставим в эту формулу ранее полученный набор цифр и знаков. В итоге получается:
Если перенести запись в ячейку электронной таблицы Excel, увидим следующее:
В итоге у меня получилось значение несколько похожее на то, что предложил коллега Евгений Трохов, но только в целой части числа. Дробная же отличается на мой взгляд принципиально. Программа выдала следующие цифры:
Честно говоря, я ожидал увидеть в ответе целое число. Наверное, потому что сам недолюбливаю дроби. Но в этот раз не удалось - в дробной части больше половины квадратного сантиметра.
Читайте также
Первый вариант.
Можно использовать формулу Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника, если известны его стороны.
S=кв.корень[(p(p-a)(<wbr />p-b)(p-c))], где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника со сторонами: a,b,c;
S - площадь треугольника.
Вычисляем:
p=(a+b+c)/2=(6+6+6)/<wbr />2=9
S=к.кв[9(9-6)(9-6)(9<wbr />-6)]=к.кв[9*3*3*3]=к.<wbr />кв[243]=15,6 см кв.(приблизительно)
Второй вариант.
Имеем равносторонний треугольник со стороной a и высотой h, достраиваем его до параллелограмма.
Площадь параллелограмма=a*h, а площадь треугольника=a*h/2
Высота треугольника h по теореме Пифагора
h=кор.кв[a в кв.-(a/2)в кв.]=кор.кв[6 в кв.-3 в кв.]=кор. кв (36-9)=кор. кв 27=5,2 (приблизительно)
Тогда
Sтреугольника=a*h/2=<wbr />6*5,2/2=15,6 приблизительно.
Треугольник находится внутри прямоугольника со сторонами 6 см на 5 см
площадь прямоугольника равна 6*5=30 см² и равна площади заданного треугольника плюс площадь 3-х прямоугольных треугольников у которых гипотенуза - сторона заданного треугольника, а стороны - стороны охватывающего прямоугольника.
Эти площади не входят в указанный треугольник и их надо вычесть
катеты этих треугольников равны
2 на 5 площадь = 2*5/2=5 см²
6 на 1 площадь = 6*1/2=3 см²
4 на 4 площадь = 4*4/2=8 см²
Площадь искомого треугольника равна
30-(5+3+8)=14 см²
