Делать построение и затем вычислять, честно говоря, очень влом. Но ведь можно поступить так, как это используют в своей "науке" разнообразные философы - придти к правильным выводам путем непротиворечивых рассуждений. Давайте попробуем.
Центр тяжести треугольника находится относительно низко (по сравнению с прямоугольником или даже той же трапецией). При наложении двух симметричных треугольников "валетом" будут отсечены от "общей" площади все шесть вершин (по три на каждый треугольник). То есть площади треугольника, прилегающие к его вершинам, в общую пересекающуюся часть не попадут.
Прикинем, какова же площадь привершинных "территорий". Ну, явно больше 1/6, и даже больше 1/5. Думается, что и больше 1/4, но здесь уже возникают сомнения. То, что никак не дотягивает до половины, т.е. 1/2, это тоже ясно.
Следовательно, остаются только два варианта правильного ответа - либо 2/3 либо 3/4. И какой выбрать?
И вновь прибегнем к научным методам, не к гадалке же пойти. А теория вероятности - это сила. Так что подбросил монетку - орел, решка? - и "прочитал" правильный ответ. Вышло 2/3. И похоже, по ощущениям, и нумерологические признаки налицо - треугольник, две трети. Согласен.
Правильный ответ - 2/3.
Первый вариант.
Можно использовать формулу Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника, если известны его стороны.
S=кв.корень[(p(p-a)(<wbr />p-b)(p-c))], где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника со сторонами: a,b,c;
S - площадь треугольника.
Вычисляем:
p=(a+b+c)/2=(6+6+6)/<wbr />2=9
S=к.кв[9(9-6)(9-6)(9<wbr />-6)]=к.кв[9*3*3*3]=к.<wbr />кв[243]=15,6 см кв.(приблизительно)
Второй вариант.
Имеем равносторонний треугольник со стороной a и высотой h, достраиваем его до параллелограмма.
Площадь параллелограмма=a*h, а площадь треугольника=a*h/2
Высота треугольника h по теореме Пифагора
h=кор.кв[a в кв.-(a/2)в кв.]=кор.кв[6 в кв.-3 в кв.]=кор. кв (36-9)=кор. кв 27=5,2 (приблизительно)
Тогда
Sтреугольника=a*h/2=<wbr />6*5,2/2=15,6 приблизительно.
Вспомним свойства параллелограмма:
1) Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
2) Каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Согласно условию КМ средняя линия треугольника АВС. Тогда треугольники АВС и КВМ подобны, КМ II АС. В результате медиана ВD и средняя линия КМ взаимно делятся точкой пересечения О пополам. На основании первого свойства четырехугольник КВМD параллелограмм, а второго - треугольники ВКD и ВМD равны.
Из школьной программы по геометрии нам известно, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. По условию задачи один угол составляет - 8 частей, второй - 4 части и третий - 6 частей.
1.Нам надо определить сколько всего частей 8 + 4 + 6 = 18 (частей).
2.Теперь узнаем сколько градусов в 1 части: 180 : 18 = 10(градусов).
3.10 х 8 = 80 (градусов)
4.10 х 4 = 40 (градусов)
5.10 х 6 = 60 (градусов)
Ответ: 1-ый угол 80 градусов; 2-ой угол 40 градусов; 3-ий угол 60 градусов.
Для олимпиады это несложная задача. Раз уж треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90°. Пусть а – длина одного из катетов. Это известная величина. Обозначим через х неизвестную длину второго катета и у – длина гипотенузы (тоже неизвестная величина). Длина второго известного отрезка d равна сумме длин второго катета и гипотенузы d = х + у. Отсюда выразим длину гипотенузы через длину второго катета и известной величины d:
у = d – х (1)
Еще раз повторю, что величины d и а мы знаем. Неизвестны х и у. То есть в уравнении (1) две неизвестные величины. Надо еще одно уравнение, чтобы найти 2 неизвестные величины. Так как треугольник прямоугольный, то используем теорему Пифагора, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть, а² + х² = у² или
у² - х² = а² (2)
Итак, получили 2 уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными х и у. Из уравнения (1) величину у подставим в уравнение (2). Имеем (d – х)² - х² = а². Вычисляем d² - 2dх + х² - х² = а². То есть d² - 2dх = а². Отсюда находим неизвестную величину х = (d² - а²)/2 d. Подставляем это выражение в уравнение (1) и находим у = d – х = d - (d² - а²)/2 d. Итак, мы вычислили величину второго катета и гипотенузы через известные величины
х = (d² - а²)/2d (3)
у = d – х = d - (d² - а²)/2d (4)
Проверим эти формулы. Пусть а = 3 и d = 9. Из формулы (3) находим х = 4 (это длина второго катета) и у = 5 – это длина гипотенузы.
