Первый вариант.
Можно использовать формулу Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника, если известны его стороны.
S=кв.корень[(p(p-a)(<wbr />p-b)(p-c))], где p=(a+b+c)/2 - полупериметр треугольника со сторонами: a,b,c;
S - площадь треугольника.
Вычисляем:
p=(a+b+c)/2=(6+6+6)/<wbr />2=9
S=к.кв[9(9-6)(9-6)(9<wbr />-6)]=к.кв[9*3*3*3]=к.<wbr />кв[243]=15,6 см кв.(приблизительно)
Второй вариант.
Имеем равносторонний треугольник со стороной a и высотой h, достраиваем его до параллелограмма.
Площадь параллелограмма=a*h, а площадь треугольника=a*h/2
Высота треугольника h по теореме Пифагора
h=кор.кв[a в кв.-(a/2)в кв.]=кор.кв[6 в кв.-3 в кв.]=кор. кв (36-9)=кор. кв 27=5,2 (приблизительно)
Тогда
Sтреугольника=a*h/2=<wbr />6*5,2/2=15,6 приблизительно.
Все видно из рисунка.
Угол А в треугольнике АВС равен углу С и равен
(180-116)/2=34 градуса.
Угол НВА смежный с углом В и равен
180-112= 68 градусов. Угол Н-прямой.
Угол НАВ равен 180-90-68=22 градуса.
Из школьной программы по геометрии нам известно, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов. По условию задачи один угол составляет - 8 частей, второй - 4 части и третий - 6 частей.
1.Нам надо определить сколько всего частей 8 + 4 + 6 = 18 (частей).
2.Теперь узнаем сколько градусов в 1 части: 180 : 18 = 10(градусов).
3.10 х 8 = 80 (градусов)
4.10 х 4 = 40 (градусов)
5.10 х 6 = 60 (градусов)
Ответ: 1-ый угол 80 градусов; 2-ой угол 40 градусов; 3-ий угол 60 градусов.
Для олимпиады это несложная задача. Раз уж треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90°. Пусть а – длина одного из катетов. Это известная величина. Обозначим через х неизвестную длину второго катета и у – длина гипотенузы (тоже неизвестная величина). Длина второго известного отрезка d равна сумме длин второго катета и гипотенузы d = х + у. Отсюда выразим длину гипотенузы через длину второго катета и известной величины d:
у = d – х (1)
Еще раз повторю, что величины d и а мы знаем. Неизвестны х и у. То есть в уравнении (1) две неизвестные величины. Надо еще одно уравнение, чтобы найти 2 неизвестные величины. Так как треугольник прямоугольный, то используем теорему Пифагора, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть, а² + х² = у² или
у² - х² = а² (2)
Итак, получили 2 уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными х и у. Из уравнения (1) величину у подставим в уравнение (2). Имеем (d – х)² - х² = а². Вычисляем d² - 2dх + х² - х² = а². То есть d² - 2dх = а². Отсюда находим неизвестную величину х = (d² - а²)/2 d. Подставляем это выражение в уравнение (1) и находим у = d – х = d - (d² - а²)/2 d. Итак, мы вычислили величину второго катета и гипотенузы через известные величины
х = (d² - а²)/2d (3)
у = d – х = d - (d² - а²)/2d (4)
Проверим эти формулы. Пусть а = 3 и d = 9. Из формулы (3) находим х = 4 (это длина второго катета) и у = 5 – это длина гипотенузы.
Для этого, на сторонах треугольника сделаем отметки, которые делят стороны на половинки. Эти отметки соединим линиями. В итоге получим четыре одинаковых треугольника. Результат не зависит от того, какой треугольник, прямоугольный или нет. Просто подобие переходит в равенство при одинаковых сторонах и углах.
