Question

Задача. Чему равна медиана треугольника, заданного стороной и двумя углами?

Имеется треугольник с основанием равным единице. А так же углом при вершине 30 градусов и углом между медианой и основанием 45 градусов.

Вопрос первый.

Чему равна величина медианы в радикалах?

Вопрос второй.

Как нарисовать этот треугольник при помощи идеальной линейки и циркуля?

Answer 1

Школьная задача на теорему Пифагора.

m = (√6 + √10)/4.

Вершина С находится как пересечение дуги, из точек которой основание АВ видно под углом в 30°, с лучом из точки М под 45° к АВ.

Answer 2

Посторение треугольника.

Из точек С и В раствором циркуля равным основанию треугольника делаем две засекки. В результате получаем точку О - центр дуги СКВ окружности, включающующей в себя угол CDB = 30⁰ и опирающуюся на данный отрезок. Далее, из середины основания проводим луч под углом 45⁰ до персечения с дугой. Отрезок МD – мадиана, CDB – искомый треугольник.

Определение длинны медианы.

Дополнительно опускаем из центра окружности два перпендикуляра: на основание - h₁ = ОМ, на медиану - h₂ = ОN. В результате медиана разделена на два отрезка m₁ = MN и m₂ = ND.

На основании рисунка имеем:

h₁ = МВ/ctg 60⁰ = (1/2)/(1/√3) = √3/2,

m₁ = h₂ = h₁* cos 45⁰ = (√3/2)* (√2/2) = √6/4,

m₂ = √(R² - h₂²) = √(1 – 6/16) = √10/4,

МD = m₁ + m₂ = (√6 +√10)/4.