Рассмотрим треугольник, удовлетворяющий условию перпендикулярности медианы и биссектрисы.
Сторона DC (а) зафиксированной длины, самая большая. Из вершины "А" проведена биссектриса. Через начало координат проведена прямая перпендикулярная биссектрисе. Поскольку она проходит через середину стороны АС, то является медианой.
Перейдем к треугольнику DAW. Биссектриса останется биссектрисой, и по скольку она перпендикулярна медиане, которая является основанием треугольника, то этот треугольник равнобедренный. Следовательно, DA=АW и DA=АC/2
Следовательно любой треугольник у которого две сторон отличаются по размеру вдвое, будет удовлетворять условию перпендикулярности.
Но при этом возникает как минимум два вопроса:
- По какой траектории будет перемещаться вершина "А" для создания семейства треугольников?
- Каким может быть минимальный угол при вершине "А" при условии, что сторона "а" самая большая.
Зная условия перпендикулярности можно написать уравнение движения точки "А"
Но для того чтобы "а" было максимальным, нужно ограничить длины других сторон двумя окружностями.
При этом перемещение вершины "А" ограничится оранжевым сегментом.
Имея возможности к расчету координат точек, не сложно вычислить, что если DC=AC, то угол при вершине "А" составит 75.5225 градусов.
Ответ
Все треугольники у которых b/c=2 и угол при вершине "А" больше 75.5225 и меньше 180 градусов, будут удовлетворять условию задачи.
Ссылка на макет.
Захватом мышью можно перемещать точки "А" и "С", при этом голубой перпендикуляр к биссектрисе будет являться медианой только при нахождении вершины "А" на расчетной траектории.
Схема построения.
Рисуется отрезок "а". С центром на его конце рисуем окружность радиуса R. Где a>R>2a/3. С центром на другом конце рисуем окружность радиуса R/2. Точка пересечения двух окружностей будет третьей вершиной треугольника. Данный треугольник будет полностью удовлетворять условию задачи. Таких треугольников существует бесчисленное количество.