Question

Как разделить отрезок на 4 равные части с помощью циркуля?

Как осуществить деление отрезка на 4 равные части используя циркуль?

Линейкой можно пользоваться только для проведения линий, но не для измерений.

Answer 1

Процесс деления отрезка на 4 равные части состоит из 2 этапов:

1) Сначала нужно разделить отрезок на 2 равные части.

2) Затем каждую из получившихся частей делим напополам ещё раз.

<hr />

1 этап

Из двух концов отрезка (на рисунке это точки A и B) нужно с помощью циркуля провести дуги окружности с радиусом чуть больше половины отрезка.

Дуги должны пересечь друг друга в 2 точках.

Через эти точки нужно провести прямую, она будет перпендикулярна отрезку AB и пересечёт его в определённой точке (на рисунке это точка C).

Данная точка и будет являться серединой отрезка:

AC = BC.

<hr />

2 этап

Теперь уменьшаем раствор циркуля примерно в 2 раза и проделываем то же самое для полученных нами отрезков (то есть для AC и BC).

Серединой отрезка AC будет точка D (AD = CD), а серединой DC - точка F (BF = CF).

Тем самым отрезок AB будет разделён на 4 равные части:

AD = CD = CF = BF.

Answer 2

Берём циркуль с раствором больше половины длины отрезка (определяется визуально). В крайнем случае, если лень напрягать глазомер, за радиус циркуля можно взять и длину исходного отрезка. Затем устанавливаем конец циркуля с иглой сначала в один конец отрезка и проводим дугу другим концом циркуля так, чтобы дуга и отрезок были с одной стороны (будет или пересечение внутри отрезка, или дуга пройдёт через другой конец, если радиус равен длине отрезка). Такое же построение проводим и для другого конца. Через точки пересечения дуг проводим прямую. Она разделит данный отрезок на два равных отрезка. В этом построении мы не только разделили отрезок пополам, но и построили прямую перпендикулярную отрезку (серединный перпендикуляр). Аналогично можно разделить пополам и получившиеся отрезки. В результате получим деление данного отрезка на 4 равных части.

Другой способ - применение теоремы Фалеса. Из конца отрезка проводим луч с помощью линейки под углом (лучше острым). На луче от его начала отсекаем с помощью циркуля отрезки равной длины. Затем соединяем конец последнего отложенного отрезка с другим концом данного отрезка и через оставшиеся концы отложенных отрезков проводим прямые параллельные проведённой прямой.

Но в последнем примере потребуется ещё строить параллельные прямые. Но это тоже конструктивная задача, которую можно решить с помощью циркуля и линейки без делений.

Поэтому предпочтительнее первый способ. Но достоинство второго метода в том, что можно делить не только на 4 части, но и на любое количество равных частей.

Answer 3

Отрезок NM можно поделить пополам циркулем, например, так

Понятно, что аналогично строится 1/n часть отрезка NM.

Answer 4

Возьмем отрезок АВ произвольной длины.

Из точек А и В проведем дуги радиусами АВ и ВА. Точки пересечения двух дуг обозначим С и D. Соединим точки C и D отрезком. Точку пересечения отрезков AB и CD обозначим буквой О.

Далее необходимо поступить аналогичным способом.

Из точек А, О, В строим дуги АО и ОА; ВО и ОВ. Находим точки пересечения дуг, соединяем точки в отрезке, как показано на рисунке.

Точки E, F получаются при пересечении отрезка АВ и построенных отрезков. Таким образом, вы разделите отрезок на 4 равных части при помощи линейки и циркуля.

Answer 5

Интересное решение с помощью циркуля без помощи линейки предложено здесь, отрезок делится пополам когда точки начала и окончания вектора становятся центрами окружностей под циркуль. Получившиеся круги пересекаются над прямой. Через точки их схода проводим прямую, которая разделит отрезок пополам. Точно таким же аналогичным способом можно разделить получившиеся отрезки пополам, выбрав за центр окружности начало и конец линии. для бв

Answer 6

Все очень просто, нужно с помощью циркуля провести две окружности. При этом ножки циркуля поставить на концы отрезка. И провести сначала одну окружность с радиусом, равным длине отрезка и центром в одном конце отрезка, а потом такую же окружность, но с центром в другом конце отрезка. Они пересекаются в двух точках. Нужно через них провести отрезок, который разделит наш на два равных. Потом то же самое сделать с одной половиной отрезка, а потом с другой. То есть разделить отрезок пополам с помощью циркуля и линейки, а потом ещё раз каждый из полученных отрезков ещё пополам. Эта задача деления отрезка пополам подробно описывается с доказательством в курсе геометрии 7-9 в задачах на построение.

Answer 7

Просо надо сделать вот такие действия и отрезок разделится пополам.

Ну а потом с каждой половинкой повторить аналогичные действия. И в результате каждая половинка отрезка разделится пополам. Ну и естественно в конце мы получим 4 равных части отрезка.

Answer 8

Задание заставляет подумать, но решение лежит практически на поверхности.

С помощью циркуля школьники что чаще всего делают? Они рисуют окружности. Этим мы и займемся, чтобы выполнить задание из вопроса.

Устанавливаем циркуль ( ножку ) в один из концов предложенного отрезка, раздвигаем циркуль так, чтобы радиус окружности, которую мы будем проводить, был больше половины отрезка ( на глаз ), проводим линию окружности.

Теперь устанавливаем ножку циркуля в другой конец отрезка и снова выполняем действия, описанные выше.

Окружности пересекутся в двух точках. Эти точки следует соединить. То место, где отрезок, соединяющий точки пересечет исходный отрезок, и будет серединой отрезка. Мы разделили отрезок на две равные части.

Далее нам нужно каждый из отрезков разделить напополам. Делаем это уже опробованным нами способом.

Answer 9

Деление отрезка на два равных отрезка общеизвестный способ. Из одного конца отрезка раствором циркуля более половины (приблизительно) делаем засечку дугой циркуля. И из другого конца - тоже делаем засечки по обе стороны отрезка. Точки пересечения засечек соединяем, и линия соединения разделит исходный отрезок на две равные части.

Теперь остаётся только каждый отрезок разделить тоже на две равные части, получится 4 равных друг другу отрезка.

Answer 10

Задачу решаем в 2 этапа. Сначала делим пополам отрезок АВ и таким же способом делим полученные отрезки пополам.

Чтобы найти середину отрезка, мы из каждой границы А и В произвольным раствором циркуля, но на глаз явно больше половины отрезка (но меньше самого отрезка АВ) проводим две окружности. Получаем две точки пересечения окружностей К и М (на рисунке). Отрезок КМ разделит наш отрезок АВ пополам. Также поступаем с каждой половиной отрезка.

Answer 11

Ставим ножку циркуля в одну из крайних точек отрезка и делаем круг, с радиусом меньшим чем длина отрезка, но примерно больше чем его половина. Теперь не изменяя радиус циркуля, делаем круг из другого конца отрезка. Проведя линию по точкам пересечения окружностей мы разделим отрезок перпендикуляром пополам. Далее эти два маленьких отрезка, так же делим меньшими окружностями, каждый в отдельности, получаем четыре отрезка.