Question

Как поделить отрезок на три равные части только с помощью циркуля?

без линейки. Дан отрезок АВ найти точки С и D которые точно делят отрезок АВ на три равные части Ответ должен в виде точки которая получается пересечением отрезка с дугой либо касанием дуги этого отрезка. Циркуль нельзя ломать, бумагу не сгибать.

Answer 1

Текстовое описание решения: 1) строим удвоенный и утроенный отрезок, 2) из концов исходного отрезка проводим две дуги утроенной длины, чтобы они пересеклись между собой, 3) из концов исходного отрезка проводим две дуги удвоенной длины, примерно на условной линии соединяющей концы отрезка и точку пересечения из шага 2, 4) из точки пересечения из шага 2 проводим дугу радиусом в размер отрезка эта дуга каснется двух дуг из шага 3. 5) расстояние между точками из шага четыре есть 1/3 от исходного отрезка, берем его и на исходном отрезке делаем зачеки. Задача решена.

Я пока привел решение без доказательств, промежуточных выкладок и построений, если будет что непонятно пишите распишу подробно.

PS данным методом можно делить отрезок одним циркулем на любое количество частей. Так как я не смог найти в инете предложенное мной решение, то хочу без лишней скромности закрепить за собой авторство такого способа. 29.03.2014 18:55 МСК

Answer 2

Сечас попробую объяснить все на пальцах, как получится.

Если следовать пошаговой моей инструкции, и делать все на бумаге, то получается следующее.

У нас есть отрезок. Мы должны его поделить на три равные части с помощью циркуля.

Диаметр циркуля должен быть больше половниы данного отрезка, но меньше длины этого отрезка.

С двух концов отрезка (точка А,В) проводим окружность,они пересекаются в двух точках над отрезком (точка С, D). Строим лучи АС И DВ, они получаются паралельными.

С помощью того же циркуля с произвольным диаметром отмеряем 4 одинаковых отрезка по линиям АС и ВD.

На линии АС получаем точки А1,А2,А3. На линии ВD - В1,В2,В3. Соединяем между собой А1 ти В3 и т.д.

И ссответственно на отрезке АВ получаем три равніе части.

Как то так. Если бы можно было лично с вами пообщаться, я бы все разложил досконально на бумаге.

Answer 3

Делим отрезок AB на 4 части *. Далее рисуем отрезок AC равный 3/4 от первоначального отрезка так, чтобы он начинался из точки первоначального A и чтобы он лежал не на одной прямой с ним. Далее отмечаем на втором отрезке AC две точки D и E, которые поделят его на 3 части *. Конец второго отрезка соединяем с концом первого отрезком BC. Далее проводим через точки D и E две прямые, параллельные отрезку BC *. Они поделят отрезок AB на 3 равных отрезка в соответствии с теоремой Фалеса.

Звездочкой * отмечены тривиальные задачи, которые слишком долго объяснять, но додуматься до которых можно быстро и самому.

Что же касается черчения прямых, то у меня рука твердая, прочертить могу и без линейки. Ну или с помощью бесконечного циркуля, что тоже является тривиальной задачей.

Answer 4

Кроме циркуля нам понадобятся линейка без делений для проведения прямых линий и ручка для того, чтобы чертить эти линии. Отмечаем на бумаге 2 точки А и В и проводим через эти точки прямую линию. На этой прямой линии имеем отрезок длиной АВ. С помощью циркуля чертим окружность радиусом равным АВ с центром в точке А. То есть окружность проходит через точку В. Затем чертим вторую такую же окружность радиусом АВ, но с центром в точке В. Эта окружность проходит через точку А. Эти наши окружности пересекаются в двух точках С и Д. Проводим прямую линию СД. Эта линия пересекает отрезок АВ в точке Е. Линия СД перпендикулярна АВ и делит наш отрезок АВ пополам. То есть АЕ = ЕВ. Так можно с помощью циркуля разделить любой отрезок пополам. Но нам надо на 3 части. Возьмем линию СЕ. На середину этого отрезка ставим точку Ф. (Как делить отрезок пополам, мы уже знаем). Через точку Ф проводим окружность с центром в точке А. И еще такую же окружность через точку Ф, но с центром в точке В. Точки пересечения этих окружностей с нашим отрезком АВ делят отрезок АВ на 3 равные части.

А как обойтись без линейки и ручки, я пока не знаю.

Answer 5

Если дан отрезок, то циркулем с концов отрезка проведите засечки, радиусом равным длине отрезка и полученную точку соедините с концами отрезков - у Вас получится равнобедренный треугольник со стороной, равной длине отрезка. С конца двух вершин данного трегольника проведите медианы к сторонам треугольника (с помощью циркуля это легко сделать, ведь медианы перпендикулярны будут сторонам). Медина делится в пропорции 1:2 - то, что надо. Из точки перекрещения медиан проведите прямую, параллельную стороне созданного треугольника, она пропорционально разделит сторону отрезка на одну треть, что нам и необходимо.

Answer 6

В вопросе не оговаривается точность деления, значит допускается приближенное деление. Такое деление без всяких построений можно выполнить методом последовательных приближений. Но автор предполагает геометрическое построение. Я предлагаю следующее построение. 1)чертим первую окружность с центром в точке А или В радиусом равным длине отрезка АВ, например с центром в точке В ; 2) чертим дугу второй окружности с центром в точке А тем же радиусом АВ до пересечения с первой окружностью и получаем точку Т и Т1; 3) чертим дугу третьей окружности с центром Т касательную к АВ и получаем точку касания Е, которая разделит АВ надвое (АЕ=1/2АВ); 4)аналогичным образом делим АЕ надвое и получаем точку К (АК=1/4АВ); 5) чертим дугу окружности с центром в точке В радиусом ВК до пересечения с первой окружностью и получаем точку М; 6)чертим дугу окружности с центром в точке М касательную к АВ и получаем точку касания С, АС будет приблизительно равен 1/3 АВ и откладываем СD равный АС.

Answer 7

Такую операцию можно проделать методом последовательных приближений, с бесконечной точностью при бесконечном количестве действий. Алгоритм: Первоначальный раствор циркуля берем меньше длины отрезка и пробуем уложить данный раствор три раза в длину отрезка, с последующей коррекцией в плюс или минус величины раствора циркуля.

Answer 8

Заинтересовалась задачей.только про решение задачи без линейки и слушать не хочу.Понравилось решение по простоте у Katar .проще и быть не может.Пусть данный отрезое ВМ.Восстановим к нему перп-ляр к т.М .известным методом.и от него по разные стороны отложим циркулем МА=МС.получим тр-ник АВС.Проведем медианы АМ1 и СМ2.Т.О пересчения всех медиан делит отрезок ВМ на ОМ=1\3 ВМ и ОВ=2\3 ВМ.Отложим циркулем ОО1=МО и О1В=О1О=ОМ-3 равных отрезка.Есто еще один способ тоже простой-но с линейкой!