Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1 Найдите угол ACB1 Найдите также угол KPM где K,P и M-соответственно середины ребер AA1, A1B1, B1C1

Answer 1

Диагонали граней куба образуют равносторонний треугольник АВ1С, все углы которого равны 60 градусов, в том числе и угол АСВ1.

Примем длину ребра куба за 1.
КР = РМ = √((1/2)²+(1/2)²) = √2/2.

КМ = √((1/2)²+1²+(1/2)²) = √6/2.
Угол КРМ найдём по теореме косинусов:
$cosKPM= \frac{( \frac{ \sqrt{2} }{2})^2+( \frac{ \sqrt{2} }{2})^2-( \frac{ \sqrt{6} }{2})^2 }{2* \frac{ \sqrt{2} }{2} \frac{ \sqrt{2} }{2} } =-0,5.$
Этому косинусу соответствует угол 120 градусов.

Ответ: угол АСВ1 равен 60 градусов,
           угол КРМ равен 120 градусов.