Question

Помогите пожалуйста решить.

На продолжении ребра SC треугольной пирамиды SABC (S — вершина) отложена точка D, такая, что CD=1,5 SC, а на ребрах SA и SB взяты соответственно точки E и F, причем SE=1/3 SA и SF=2/3 SB. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки D, E и F?

Answer 1

Из данных отношений площадей следует, что SE:EB=3:1, SF:FC=4:1, SD:DA=5:1. Это значит, что SE:SB=3:4, SF:SC=4:5, SD:SA=5:6. Пирамида SDEF построена на сторонах того же угла, что и SABC, поэтому отношение её объёма к объёму всей пирамиды равно произведению трёх указанных выше отношений чисел, то есть (3/4)(4/5)(5/6)=1/2. Обосновать факт насчёт отношения объёмов можно, например, при помощи смешанного произведения векторов, или путём сравнения площадей оснований и высот.