Question

Что такое дифференциал и чему он равен?

Answer 1

Дифференциал функции это отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению переменной. Выражается, как df(x)/dx.

Реально представляет из себя касательную к кривой, описывающей данную функцию в точке с координатами x и f(x). Дифференциал могут быть различных порядков: первого второго, третьего и так далее...

Чтобы был понятен физический смысл, то можно привести пример из физики. Если кривая описывает зависимость пути, пройденного телом за определенное время, то дифференциал в заданной точке покажет мгновенную скорость тела в этой точке, а дифференциал второго порядка - мгновенное ускорение в этой же точке.

Answer 2

Дифференциал - бесконечно малое приращение математической величины. То есть ее изменение, но такое, что, с одной стороны, оно отлично от нуля, с другой - меньше любого, наперед заданного, числа. То есть, формально, дифференциалы числами не являются и никто не в праве их складывать, умножать, и тем более делить. Строгость в этом деле навел Авраам Робинсон в 1960 г., создав инфинитезимальное исчисление, которое ныне известно под названием нестандартный анализ. Но в вузовском курсе математике на это внимания не обращают и оперируют с дифференциалами, как с обычными математическими величинами. В частности, производная - это отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. А авторам, которые путают производную и дифференциал, я бы на экзамене снизил оценку на балл, а то и на два.

Answer 3

Процесс вычисления производной называется дифференцированием, так что дифференциал = производная.

Представьте, что всю свою зарплату кладёте на счёт в банке. Тогда изменение счёта в банке (его рост) — это функция, а зарплата — это производная.

Отсюда получается:

• Чем выше ваша зарплата, тем быстрее растёт счёт в банке из месяца в месяц. Получили повышение к ЗП — график счёта в банке ещё круче стал.
• Чем ниже зарплата, тем медленнее прирастает счёт (но он всё равно растёт).
• Если ваша зарплата равна нулю, то счёт не растёт (является константой).

Подробнее можно почитать в статье "Производная — на примере с банковским счётом".

Answer 4

Если вопрос носит чисто информационный характер, то можете считать, что дифференциал - производная выраженная не операцией, а оператором.

Чему равен дифференциал зависит в каждом конкретном случае в зависимости от рассматриваемых функций.

Если вопрос в том как разобраться что такое дифференциал, то нужно брать учебник матана (тот по которому преподают) и брать определение оттуда, поскольку разные авторы могут определять дифференциал по-разному (различия обычно чисто терминологические).