Самые лучшие учебники по математике вообще и по математическому анализу в частности должны быть написаны акад. А.Колмогоровым ,его друзьями и учениками. Ибо он выдающийся ум и человек!
Нужно воспользоваться теоремой Абеля. И найти радиус сходимости степенного ряда. Для этого вычислить предел при n стремящийся к бесконечности такого выражения (1/(2^n(n+3)):(1/2^(n+1)(n+4))=(2^(n+1)(n+4))/(2^n(n+3)=(2(n+1))/((n+4)). Тогда предел равен 2. Получаем, что данный ряд сходится абсолютно при 2<x-1<-2.или -1<x<3. Осталось проверить на концах промежутка. Получим х=-1. Получим знакочередующийся ряд (-1)^n/(n+3). Который сходится условно.
При x=3 получим ряд 1/(n+3). Который расходится. Тогда область сходимости ряда это промежуток -1<=x<3.
Пусть дана функция y=f(x), так вот если x (в данном случае он называется промежуточным аргументом) как-нибудь зависит, например, x=g(t), тогда y=f(g(t)) и есть композиция функций, а именно: y=f(x) и x=g(t). То есть чтобы по правиоу f найти y, надо сначала найти x, который зависит от t, по правилу g.
P. S. Надо заметить, что такую "матрёшку" можно обобщать до любого числа промежуточных аргументов.
А какие именно дифференциальные уравнения? Есть линейные однородные дифференциальные уравнения.
Можно про них поговорить.
Уравнения вида a0*y^(n)+a1*y^(n-1)+...an*y=0, где аn вещественные постоянные, а y^(n) производные n порядка от y называется линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами.
А уравнение вида a0*y^(n)+a1*y^(n-1)+...an*y=f(X) называется нелинейным уравнением с постоянными коэффициентами. Или уравнением с правой частью.
Наибольшее распространение получили линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Методы решения этих уравнений очень хорошо известны и не составляют труда. Однородные решаются очень просто, для неоднородных есть алгоритм. Решение неоднородного уравнения зависит от вида правой части.
Пусть наш одночлен - это a*x^n. Тогда первой его производной будет одночлен a*n*x^(n-1). Чтобы доказать это свойство достаточно расписать данное выражение по определению производной, то есть взять соответствующий предел. Напомню, что определение производной функции звучит следующим образом:"Производной функцией называется предел отношения приращения исходной (той, от которой берём производную) функции к приращению её аргумента при стремлении приращения последнего к нулю".
