Распишу буквально по действиям, чтобы было понятно, "что из чего и как":
(2*x^3 + 3*x^2 - 12*x - 3)'=(2*x^3)' + (3*x^2)' - (12*x)' -(3)'=
= 2*(x^3)' + 3*(x^2)' - 12*(x)' -(3)'= 2*(3*x^2) + 3*(2*x) - 12*(1) - 0 = 6*x^2 + 6*x - 12.
Теорема Больцана-Каши:
Пусть есть функция f(x). При этом она непрерывна. А также есть две точки x1 и x2 такие, что x1 < x2 и f(x1) * f(x2) < 0. Тогда утверждается, что существует хотя бы одно x0 такое, что x1 < x0 < x2 и f(x0) = 0.
Это была лишь одна из теорем Больцана-Каши. На самом деле есть ещё несколько. Поэтому советую вам с ними ознакомиться более подробно с помощью какого-нибудь учебного пособия, если вы, действительно, интересуетесь этим вопросом.
В разных учебниках и учебных пособиях даются разные определения. И вот одно из них:
функция непрерывна в точке x, если выполняются следующие условия:
1) x принадлежит области определения функции
2) в точке x функция имеет предел. То есть существует и левосторонний, и правосторонний предел. При этом они равны.
3) значение функции в точке x совпадает с пределом функции в точке x.
Соответственно, функция непрерывна в принципе, если для каждой её точки выполняются вышесказанные условия.
Задана функция у=ах^2+вх+с.
Найдем производную у'(х).
Она равна 2ах+в.
Приравняем её к 0.То есть 2ах+в=0, отсюда :
Х-координата= -в/2а,
поставим это значение в выражение для функции у=у(х) и получим :
У-координата= (4ас-в^2)/4а.
Доказывать что х=-(в/2а) является именно точкой экстремума не буду.
Знак дифференциала "d" означает "бесконечно малое изменение" значения переменной перед которой он ставится. Нужен, именно, для обозначения этого бесконечно малого изменения при вычислениях.
