Знак дифференциала "d" означает "бесконечно малое изменение" значения переменной перед которой он ставится. Нужен, именно, для обозначения этого бесконечно малого изменения при вычислениях.
В разных учебниках и учебных пособиях даются разные определения. И вот одно из них:
функция непрерывна в точке x, если выполняются следующие условия:
1) x принадлежит области определения функции
2) в точке x функция имеет предел. То есть существует и левосторонний, и правосторонний предел. При этом они равны.
3) значение функции в точке x совпадает с пределом функции в точке x.
Соответственно, функция непрерывна в принципе, если для каждой её точки выполняются вышесказанные условия.
На картинке, предложенной снизу, будут представлена некоторые основные свойства взятия производной. Ознакомившись и разобравшись с ними, вы сможете спокойно овладеть данной темой. И в будущем взятие производной функции не составит для вас проблем.
В простейшем случае производная от логарифмической функции натурального логарифма будет выглядеть так: (ln(x))'=1/x. Если в этой функции есть выражение вместо х, то результат дифференцирования будет определён как производная сложной функции (производная внешней функции умножить на производную внутренней функции, например:
g(x)=(ln(f(x)))'=f'(<wbr />x)*1/f(x)=f'(x)/f(x)<wbr />.
Если логарифм с внутренней функций имеет основание a (log(a)(f(x)), то производная такой функции вычисляется следующим образом:
(log(a)(f(x))'=f'(x)<wbr />/(f(x)*ln(a)).
В случае с десятичным логарифмом результат дифференцирования будет таким: (lg(f(x)))=f'(x)/f(x<wbr />)*ln(10).
Математический смысл второй производной это показатель вогнутости или выпуклости функции
Например имеем функцию у=х^2
Вторая производная у"=2.Она больше 0,эта функция выпуклая.
А, например, если у=-х^2,то у" =-2,значение второй производной меньше 0,эта функция вогнутая.
Представьте в уме эти графики, все понятно будет.
Имею ввиду не направления ветвей параболы,а куда направлены выпуклости этих парабол.