На картинке, предложенной снизу, будут представлена некоторые основные свойства взятия производной. Ознакомившись и разобравшись с ними, вы сможете спокойно овладеть данной темой. И в будущем взятие производной функции не составит для вас проблем.
Общее правило:
Пусть f(x) и g(x) - это функции, произведение которых мы будем рассматривать, тогда:
(f(x) * g(x))' = f(x)' * g(x) + f(x) * g(x)'
"Первая производная от произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции"
Таким образом, первая производная вашей функции будет равна:
f(x)' = 2 * cos x + (2x + 3) * (-sin x).
P.s
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(2x + 3)' = 2
(a* x^n)' = an * x ^ (n - 1)
Учитывая одинаковые коэффициенты при тригонометрических функциях , пробуем их скомпоновать и "поработать":
- 8*(sin 2x + cos 2x ) - 12 = -8 *(√2)sin (x +pi/4) - 12.
Далее попробуем представить √2\2 как sin (pi/4) , и используя потом формулу произведения синусов углов , а потом формулу приведения , получим:
-16*[(sin(pi/4)*sin(x + pi/4)] - 12 =
-16/2 *[cos (pi/4 - x - pi/4) - cos (x +pi/4+pi/4)] - 12 =
-8 *[cos (-x) - cos(x +pi/2) - 12 =
- 8*[cos(x) - sin (x)] - 12 ... (1) , тут снова используем формулу разности синуса и косинуса :
+8*[√2]*[sin (x - pi/4)] - 12 .
Ответ можно так и оставить , и в таком виде можно решать уравнение.А можно оставить выражение , полученное выше(1).
Можно попробовать через половинные аргументы
2cos x = 4cos^2(x/2) - 2
cos(3x/2) = 4cos^3(x/2) - 3cos(x/2)
Получаем
4cos^2(x/2) - 2 - 4cos^3(x/2) + 3cos(x/2) < 1
4cos^2(x/2) - 3 - 4cos^3(x/2) + 3cos(x/2) < 0
(4cos^2(x/2) - 3)*(1 - cos x) < 0
Произведение < 0, когда сомножители имеют разные знаки
1)
{ 4cos^2(x/2) - 3 < 0
{ 1 - cos x > 0
{ cos^2 x < 3/4
{ cos x < 1 - это верно при любом x =/= 2pi*k
cos^2 x < 3/4
-sqrt(3)/2 < cos x < sqrt(3)/2
pi/6 + 2pi*k < x1 < 5pi/6 + 2pi*k
7pi/6 + 2pi*k < x2 < 11pi/6 + 2pi*k
2)
{ 4cos^2(x/2) - 3 > 0
{ 1 - cos x < 0
{ cos^2 x > 3/4
{ cos x > 1 - это неравенство решений не имеет. И вся система тоже.
sin^2(x)-2*sin(x)*cos(x)=3*cos^2(x) (1),
sin^2(x)-2*sin(x)*cos(x)-3*cos^2(x)=0 (2)
Убеждаемся, что cos(x) не может равняться нулю. Допустим, что cos(x)=0. Подставив это значение в уравнение (2) получим sin(x)=0. Но и синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю. Значит наше допущение что cos(x)=0, было неверным. Такого рода проверка является ОБЯЗАТЕЛЬНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ РЕШЕНИЯ ЛЮБЫХ УРАВНЕНИЙ, если мы решили разделить все члены уравнения (или неравенства) на какое-либо выражение, содержащее неизвестное.
Значит cos(x) не равен нулю. Тогда мы имеем право все члены уравнения (2) поделить на cos(x)^2. Получаем:
tg^2(x)-2tg(x)-3=0 (3).
Получилось простое уравнение второй степени (квадратное) относительно tg(x).
Его решения tg(x)=-1 и tg(x)=3.
Окончательно x(1)= -Пи/4 + Пи*k, где k - любое целое число.
Аналогично x(2)= arctg(3) + Пи*k, где k - любое целое число.
<hr />
NataLi! Позвольте дать Вам один хороший совет. Когда Вы обращаетесь с подобными просьбами, не пишите свою просьбу в приказном тоне "Требуется...". Это очень плохо воспринимается и отталкивает потенциальных помощников. Лучше написать так "Пожалуйста, приведите...".
