Неопределённый интеграл есть обозначение для первообразной. То есть функции, производная которой равна данной (подынтегральной функции).
Пусть у нас есть две функции: u(x) и v(x). Тогда производная их частного будет выглядеть следующим образом (так, как показано на прикреплённом рисунке снизу):
P.s. под штрихом, как вы, наверное, могли догадаться, подразумевается взятие производной от соответствующей функции.
Общее правило:
Пусть f(x) и g(x) - это функции, произведение которых мы будем рассматривать, тогда:
(f(x) * g(x))' = f(x)' * g(x) + f(x) * g(x)'
"Первая производная от произведения двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую функцию и произведения первой функции на производную второй функции"
Таким образом, первая производная вашей функции будет равна:
f(x)' = 2 * cos x + (2x + 3) * (-sin x).
P.s
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(2x + 3)' = 2
(a* x^n)' = an * x ^ (n - 1)
Избавляемся от проблем с числителем
Числитель и знаменатель домножаем на 2x/pi - 1
ln(2x/pi)/(2x/pi -1) - это замечательный предел вида ln(x+1)/x - стремится к единице.
Теперь знаменатель.
на sin(5x/2) внимания не обращаем.
cos x = sin (pi/2 - x).
Числитель и знаменатель домножаем на (pi/2 - x)
(pi/2 - x)/sin(pi/2 - x) - замечательный предел, стремящийся к единице.
Избавившись от замечательных пределов, подставляем в то выражение, что осталось, вместо икса pi/2.
Тем более, что оставшиеся неопределённости (pi/2 - x) и (2x/pi - 1) благополучно сокращаются между собой.
