Сначала об областях определения функций:
Область определения функции - множество значений независимой переменной(в Вашем случае - х), при которых функция (y) имеет смысл (область допустимых значений - ОДЗ). В приведенных примерах, если предположить только алгебраические значения функции, то это значения, при которых функция не обращается в 0, или не требует извлечения квадратного корня из отрицательной величины. В первом случае, такими, особенными значениями независимой переменной, являются x = 2 (знаменатель обращается в 0, а на 0 делить нельзя), и x < -5, при которых невозможно извлечь корень, не прибегая к комплексным числам.
Т.о. в первом примере ОДЗ является вся ось Х, за исключением точек х = 2 и х < -5. Во втором - нельзя делить на знаменатель первого слагаемого при х = 8, а кроме этого, нельзя извлечь корень из числителя второго слагаемого при х < 6. Значит, ОДЗ в этом случае является вся числовая ось Х, з а исключением точек х=8 и х<6.
Продолжение следует.
Я так понял, что Вам нужен не только ответ, но и понимание хода решения, что я и пытаюсь привести.
Функция монотонна только в том случае, если она либо убывающая, либо возрастающая.
Теперь давайте разберемся, что же такое возрастающая и убывающая функция.
Функция f(x) называется возрастающей, если для любых x1, x2 из области определения функции таких, что x1 > x2, верно следующее неравенство: f(x1) > f(x2).
Функция f(x) называется убывающей, если для любых x1, x2 из области определения функции таких, что x1 > x2, верно следующее неравенство: f(x1) < f(x2).
Каждая из них является производной другой, Но!!! Не забудьте в одном случае поменять знак.
Т.е. [sin(x)]'=cos(x); [cos(x)]'=-sin(x). Больше тут не ничего ни убавить, ни прибавить. Эх, всё равно до 200 знаков не хватило.
Теорема Больцана-Каши:
Пусть есть функция f(x). При этом она непрерывна. А также есть две точки x1 и x2 такие, что x1 < x2 и f(x1) * f(x2) < 0. Тогда утверждается, что существует хотя бы одно x0 такое, что x1 < x0 < x2 и f(x0) = 0.
Это была лишь одна из теорем Больцана-Каши. На самом деле есть ещё несколько. Поэтому советую вам с ними ознакомиться более подробно с помощью какого-нибудь учебного пособия, если вы, действительно, интересуетесь этим вопросом.
