e^x (экспонента) - это такая удивительная, единственная и неповторимая функция в математике(хотя мы знаем, что природа возникновения e связана напрямую с физикой), что каждая её производная(первая, вторая, третья и так далее) - это и есть сама эта функция, то есть e^x.
Примечание: e - это число Эйлера, e = 2.71 (приблизительно).
Распишу буквально по действиям, чтобы было понятно, "что из чего и как":
(2*x^3 + 3*x^2 - 12*x - 3)'=(2*x^3)' + (3*x^2)' - (12*x)' -(3)'=
= 2*(x^3)' + 3*(x^2)' - 12*(x)' -(3)'= 2*(3*x^2) + 3*(2*x) - 12*(1) - 0 = 6*x^2 + 6*x - 12.
Теорема Больцана-Каши:
Пусть есть функция f(x). При этом она непрерывна. А также есть две точки x1 и x2 такие, что x1 < x2 и f(x1) * f(x2) < 0. Тогда утверждается, что существует хотя бы одно x0 такое, что x1 < x0 < x2 и f(x0) = 0.
Это была лишь одна из теорем Больцана-Каши. На самом деле есть ещё несколько. Поэтому советую вам с ними ознакомиться более подробно с помощью какого-нибудь учебного пособия, если вы, действительно, интересуетесь этим вопросом.
В разных учебниках и учебных пособиях даются разные определения. И вот одно из них:
функция непрерывна в точке x, если выполняются следующие условия:
1) x принадлежит области определения функции
2) в точке x функция имеет предел. То есть существует и левосторонний, и правосторонний предел. При этом они равны.
3) значение функции в точке x совпадает с пределом функции в точке x.
Соответственно, функция непрерывна в принципе, если для каждой её точки выполняются вышесказанные условия.
Знак дифференциала "d" означает "бесконечно малое изменение" значения переменной перед которой он ставится. Нужен, именно, для обозначения этого бесконечно малого изменения при вычислениях.
