В разных учебниках и учебных пособиях даются разные определения. И вот одно из них:
функция непрерывна в точке x, если выполняются следующие условия:
1) x принадлежит области определения функции
2) в точке x функция имеет предел. То есть существует и левосторонний, и правосторонний предел. При этом они равны.
3) значение функции в точке x совпадает с пределом функции в точке x.
Соответственно, функция непрерывна в принципе, если для каждой её точки выполняются вышесказанные условия.
Пусть наш одночлен - это a*x^n. Тогда первой его производной будет одночлен a*n*x^(n-1). Чтобы доказать это свойство достаточно расписать данное выражение по определению производной, то есть взять соответствующий предел. Напомню, что определение производной функции звучит следующим образом:"Производной функцией называется предел отношения приращения исходной (той, от которой берём производную) функции к приращению её аргумента при стремлении приращения последнего к нулю".
Существует множество довольно сложных для восприятия формулировок, объясняющих термины производная и дифференциал, разобраться в которых не просто. С производной еще куда ни шло - она показывает скорость изменения функции и само по себе понятие скорости имеет простой физический смысл, который легко увидеть в реальной жизни - то есть это то ускорение с которым движется например падающий камень или стартующий гонщик. Дифференциалу труднее подобрать простой аналог из жизни - тут приходится опираться больше на геометрию. Ведь дифференциал - это просто главная часть приращения значения функции на каком-то отрезке. Графически его можно представить, как часть приращения функции ограниченная касательной в точке Х0 и перпендикуляром от этой точки на ось У. А вот производная в подобном рисунке - это тангенс угла наклона такой касательной.
Пусть у нас есть две функции: u(x) и v(x). Тогда производная их частного будет выглядеть следующим образом (так, как показано на прикреплённом рисунке снизу):
P.s. под штрихом, как вы, наверное, могли догадаться, подразумевается взятие производной от соответствующей функции.
Знаю простой вариант решения такой задачи:
По двору гуляют свиньи и гуси. На них всех приходится 12 ног и 7 голов. Сколько свиней и сколько гусей гуляет по двору?
Типичная школьная задачка на составление и решение системы из 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.
Однако решить её можно проще.
Раздадим всем животным по две ноги, меньше, чем две ноги у них ни у кого нету.
Итак, 7*2=14
У нас осталось 20-14=6 ног.
Это явно ноги свиней. А мы каждой свинье не додали по две ноги, стало быть 6/2=3. Ага, свиней ровно три. Тогда гусей 7-3=4.
