В современном языке русском имя существительное лягушк/а и глагол ляг/ать имеют разные корни
(они отделены от остальных частей слова). Эти слова имеют и разные лексические значения.
Ведь лягушка не лягается, она просто передвигается, прыгает посредством длинных задних конечностей, отталкиваясь ими.
По длинным задним ногам и названо это земноводное.
Связывает эти два слова не что иное, как происхождение их от одного слова ляга, которое означало "нога, бедро".
Кстати, слово ляга употребляется и сейчас в некоторых диалектах.
В диалектах встречается и слово лягуша в значении "лягливая лошадь".
Итак, глагол лягать ("бить, ударять задними ногами наотмашь") образовано от слова ляга при помощи суффикса -а-.
От этого же слова ляга образовано и собственно русское существительное лягуха. Образовано при помощи суффикса -ух-
(как, например, и существительные "старуха, молодуха, толстуха, щебетуха"). От слова лягуха, в свою очередь, образовано и современное, всем знакомое хорошо существительное лягушка. Преобразование связано с суффиксом субъективной оценки -к-, призванным придать слову уменьшительно-ласкательное значение. При этом звук х стал произноситься как ш (для удобства произношения), как и в словах "старушка, молодушка, толстушка, щебетушка".
Кстати, от устаревшего древнего слова ляга образовано и существительное ляжка ("мясистая часть бедренной кости у животных и человека") посредством суффикса -к-. Все эти слова абсолютно русские, известны были еще в 17 веке.
В современном русском языке связь существительного лягушка с устаревшим и забытым словом ляга да и с глаголом лягать утрачена. Не являются эти слова и однокоренными, как и сама лягушка с лошадью не родственники.
Мне вспоминается один довольно познавательный рассказик-миниатюра известного замечательного писателя Феликса Кривина о лягушке и лошади, где автор рассказывает
о связи слов-родственников лягушка и лягать (читала своим детям и внучкам).
Вот начало рассказа:
Автор понимал, что связаны существительное лягушка и глагол лягать по своему происхождению историческому, этимологически.