Между этими словами нет абсолютно ничего общего. Слово душ пришло в русский язык из итальянского посредством французского и первоначально обозначало водопроводную трубу - doccia, превратившись у французов в douche.
Принцип душа был известен ещё древним египтянам, но в Европе его открыли заново много веков спустя. Система, управляемая ручной помпой, была запатентована англичанином William Feetham в 1767 г., при этом использованная вода собиралась обратно в бочок и использовалась по новой.
Душ в нашем понимании появился 1870-е гг. во французской армии и тюрьмах благодаря стараниями доктора François Merry Delabost, справедливо полагавшего, что "одноразово" стекающая по телу вода гораздо гигиеничней бараханья в "супе" из собственной грязи.
Слово душа - наше, исконно русское слово, образовавшееся от слова дух. Его ближайший родственник (хотя с позиции современного русского языка эти слова нельзя называть однокоренными) - дыхание и дышать.
Явление, когда иностранное слово полностью звучит как слово из родного (другого) языка, называется межъязыковой омонимией. В случае душ - душа о такой омонимии говорить не приходится, ведь слова отличаются.
Если же перед нами пара душ (им. п., ед. ч.) - душ (род. п., мн. ч.,), например, в предложении: "У него было пять душ детей, и все они становились по утрам в очередь в душ", - тогда перед нами другой тип омонимии. Когда два слова в одном языке полностью совпадают, но при этом стоят не в начальной форме (хотя бы одно из них), тогда перед нами явление омоформии (в им. п. омоформия). Самыми известными омоформами в русском языке являются инфинитив глагола есть (я ем, ты ешь) и формы глагола быть в настоящем времени, практически вышедшие из употребления (у меня есть пять рублей).