Об этих трёх словах можно настоящую научную статью написать, я же постараюсь коротко обозначить разницу в значении и употреблении в обыденной речи. Не говорю об их использовании в качестве терминов, не веду речь об устойчивых сочетаниях и о роли в словообразовании.
Носители немецкого языка используют в речи эти слова (как и другие) интуитивно, даже не задумываясь. Иностранцам приходится туговато.
Если заглянуть в словарь синонимов, то, действительно, все три слова являются синонимами и могут взаимозаменяться, но не всегда. Разумеется, это зависит от контекста.
Если эти слова употребляются в составе сложных, спутать их значение невозможно, а, значит, и трудно неверно их использовать. Например, Arbeitsplatz, Parkplatz, Spielplatz, Erholungsort, Kurort, Wohnort, Berufsstelle, Schmerzstelle, Tankstelle и т.п.
В других случаях ориентируемся на речевую ситуацию: о чём речь?
Ort - когда имеем в виду туристические объекты (горы, побережья, национальные парки и т.п.), город, деревня, напр., Der beste Ort der Welt/Лучшее место в мире/. В любом случае - географические понятия.
Platz - если говорим о площади (архитектурное пространство в населённом пункте), место в помещении, место на территории, место для сидения, место в спорте, место в рейтинге, напр., Platz der Republik/Площадь Республики/Kleines Haus mit ganz viel Platz/Маленький дом с большой площадью=Маленький вместительный дом/Ich habe einen reservierten Platz/У меня зарезервировано место/Den ersten Platz erobern/Завоевать первое место. Значение большого и небольшого визуального пространства, ранговый смысл.
Stelle - конкретно определённое место, позиция (на работе), напр., Eine gute Stelle zum Baden/Хорошее место для плавания/Die Sonne steht im Mittelpunkt des Sonnensystems/Солнце находится в центре Солнечной системы/Ich habe neue Stelle bekommen/Я получил новую должность/.