Это ОЧЕНЬ полезная задача.
Все обозначения на чертеже, пояснять, что есть что - не буду.
Из подобия треугольников ADE и BCE следует
x/b = (x + b)/a;
что означает, что AC делит ED пропорционально AD и AE, то есть AC - биссектриса угла EAD.
Далее, угол BCE = угол ADE, следовательно, оба треугольника BCE и ACD - равнобедренные, имеют равные углы при основании и равные основания, так как BC = CD.
Таким образом, x = BE = EC = a;
<em>Итак, в равнобедренном треугольнике AED основание AD = биссектриса AC = отрезок от вершины до основания биссектрисы EC. Этот треугольник полезно запомнить - и сейчас станет ясно, почему.</em>
Если обозначить угол CAD = α; то теперь очевидно,
что угол CDA = угол ACD = 2α; (AC - биссектриса угла А, и не надо забывать, что и трапеция равнобедренная). Угол BCA = α; поэтому угол BCD = 3α; и<span>
5</span>α = 180°; откуда α = 36°;
углы трапеции равны 108° и 72°; это ответ :)
<em>
а теперь - почему так устроенный треугольник AED так важен.</em>
<em>Поскольку x = a; то (a + b)/a = a/b; </em>
<em>если обозначить b/a = y; то 1 + y = 1/y; или y^2 + y - 1 = 0;</em>
<em>откуда y = (</em><span><em>√5 - 1)/2; </em>
<em>Отсюда получается cos(72</em></span><em>°) = (a/2)/(a + b) = (1/2)/(1 + b/a) = 1/(2 + 2y) = 1/(√5 + 1) = (√5 - 1)/4;</em>
<em>cos(72°) = (√5 - 1)/4; то есть получено выражение в радикалах для косинуса угла 72°; конечно же, cos(72°) = sin(18°); и это означает, что получены выражения в радикалах для всех углов, кратных 18° (ну, я их вычислять тут не буду, это и не важно).</em>
Сторона MK лежит против угла N. По теореме косинусов:
N²=R²+M²-2*r*m*cos α ⇒ cos α=(r²+m²-n²)/(2*m*r) ,
далее мы можем записать r²+m²=(r+m)²-2mr⇒
cos α= ((r+m)²-n²-2mr)/2mr=(r+m+n)(r+m-n)/2mr -1;
Решение смотри на фотографии
для квадрата R является радиусом вписанной окружности
R=a4/2=4
R для треугольника являеться радиусом описанной окружности
S=3*√3/4*R^2=12√3
<span>
высота конуса 8, образующая 10.
найти радиус описанной сферы.
Два способа в скане..........
</span>
