Пусть A - начало координат.
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - AA1
Уравнение плоскости APQ - проходит через начало координат .
ax+by+cz=0
Подставляем координаты точек
P (2;0;2)
2a+2c=0
Q(4;3;1)
4a+3b+c=0
Пусть a= 1 , тогда с = -1 b = -1
Уравнение плоскости
x-y-z=0
Нам нужно доказать что точка
U (4;2;2) принадлежит этой плоскости .
Подставляем координаты в уравнение
4-2-2=0 - принадлежит.
Основание призмы - квадрат.
Нужен прямоугольный треугольник, у которого
гипотенуза = 10см, катет = 6см.
Ищем второй катет по т. Пифагора( это диагональ квадрата)
х² = 100 - 36 = 64
х= 8
Теперь нужен прямоугольный треугольник с гипотенузой = 8 и катетами ( стороны квадрата)
64 = у² + у²
2у² = 64
у² = 32
у = 4√2
Sбок. = Росн * H = 4√2*4 * 6 = 96√2(cм²)
Формула суммы квадратов диагоналей
D²+d²=2(a²+b²).
D-d=2. D=2+d
(2+d)²+d²=2(9²+19²)
4+4d+d²=884
d²+4d-880=0
D=4²+4*880=3536
√D=4√221
d=(-4+4√221)/2=2√221-2
АА1 и СС1 - высоты. Значит точки А1 и С1 лежат на окружности с диаметром АС и центром в точке М. <C1МА1=<C1BA1 (дано).
Пусть <C1BA1=α. В прямоугольном треугольнике ВС1С угол ВСС1
равен 90-α. Но <C1MA1 - центральный и равен 2<BCC1, так как <BCC1 вписанный и опирается на ту же дугу, что и центральный. Итак, α=2*(90-α), отсюда α=180-2α и α=60°.
Значит <BCC1 и <BAA1 равны по 30°
В прямоугольных треугольниках ВС1С и ВА1А катеты, лежащие против углов 30°, равны половине гипотенузы.
Значит ВС1=(1/2)*ВС =ВL (так как L - середина ВС), а
ВА1=(1/2)*АВ=ВК (по такой же причине).
ВК+С1К=ВL (1)
BL-A1L=BK. (2)
Подставим (2) в (1):
BL-A1L+С1К=ВL. Или С1К=А1L.
Что и требовалось доказать.