Прежде всего отметим, что x^4 - 8*x + 16=(x^2 - 4)^2=(4 - x^2)^2. Подставим последнее выражение. Получим:
1/(log2((4 - x^2)^2) - (log2(4 - x^2))^2) ≤ 1;
1/(2*log2(4 - x^2) - (log2(4 - x^2))^2) ≤ 1;
ОДЗ x^2 < 4 или -2 < x < 2.
Заменим выражение log2(4 - x^2) на у.
Получим:
1/(2*у - y^2) ≤ 1;
ОДЗ 2*у - y^2 ≠ 0, или y*(2 - y)2 ≠ 0, откуда либо y ≠ 0, либо 2-y ≠ 0 или у ≠ 2.
Решаем:
1/(2*у - y^2) ≤ 1;
1/(2*у - y^2) -1 ≤ 0;
Приводим к общему знаменателю и производим вычитание в числителе:
(1 - 2*у + y^2)/(y*(2 - y)) ≤ 0;
Поменяем знаки у выражения (2 - y) и у всего неравенства:
(1 - y)^2/(y*(y-2)) ≥ 0;
(у-1)^2/(y*(y-2)) ≥ 0;
Применяем стандартный метод интервалов:
Точки у=0, у=1 и у=2 делят числовую ось на 4 интервала.
Неравенство выполняется в самом левом (у < 0) и в самом правом (у > 2) интервалах. Отметим попутно, хотя это и не имеет отношения к решению, что в точках у=0 и у=2 имеются разрывы второго рода.
Итак, решением неравенства (у-1)^2/(y*(y-2)) ≥ 0 является совокупность интервалов (у < 0) и (у > 2).
Возвращаемся к исходной переменной:
Первый интервал:
log2(4-x^2) < 0;
0 < (4-x^2) < 1;
3 < x^2 < 4;
Решение: (√3 < х < 2) ∩ (-2 < х < - √3).
Второй интервал:
log2(4-x^2) > 2;
(4-x^2) > 4, откуда x^2 < 0, следовательно второй интервал не даёт решений.
Окончательно: (√3 < х < 2) ∩ (-2 < х < - √3).