Question

Как решать пример и найти неравенства?

Answer 1

Очевидно, что дробь больше или равна нулю,

Таким образом, для решения нашего примера потребуется решить две системы неравенств, имеющих следующий вид.

{2х - 1 ≥ 0;

{5х + 3 > 0.

И

{2х - 1 ≤ 0

{5х + 3 < 0.

Решаем первую из них.

{х ≥ 0,5;

{х > -0,6,

откуда х ≥ 0,5 (очевидно, что любое число, большее или равное 0,5, будет больше -0,6) или х ∈ [0,5; ∞).

Аналогично из второй системы

{х ≤ 0,5;

{х < -0,6

определяем, что х < -0,6 (здесь тоже понятно, что любое х, меньшее -0,6, также будет меньше и 0,5) или х ∈ (-∞; -0,6).

Таким образом, решением указанного в вопросе неравенства является х ∈ (-∞; -0,6) U [0,5; ∞)

Answer 2

При решении многих неравенств или уравнений полезно для начала определить область допустимых значений (ОДЗ) аргумента. В данном неравенстве знаменатель не должен равняться нулю, значит х не может равняться -3/5, и это значение нужно исключить из решения. Но при решении указанным методом (методом интервалов) это значение исключается автоматически, поэтому определять ОДЗ необходимости не было, но тем не менее, это всегда полезно.

Вынесем в числителе за скобку 2, в знаменателе 5, и умножим обе части на 5/2. Поскольку 5/2>0, то знак неравенства не изменяется.

(2x-1)/(5x+3)>=0;

2*(x-1/2)/(5*(x+3/5)>=0;

(x-1/2)/(x+3/5)>=0.

Когда неравенство задано в виде дроби или в виде произведения, простейших выражений, то нужно определить, при каких значениях эти простейшие выражения становятся равными нулю, и этими значениями разбить всю числовую ось на интервалы. Получим три интервала: от - бесконечности до -3/5 от -3/5 до 1/2 и от 1/2 до плюс бесконечности. Теперь зададим мысленно какое-нибудь значение в одном из интервалов (чисто практически это удобнее делать на самом правом, но не обязательно, можно на любом). Итак проверяем значение х в интервале от 1/2 до плюс бесконечности, например х=1. Тогда дробь равна (1-1/2)/(1+3/5)=(1/2)/(8/5). Вычислять само значение даже не нужно, достаточно того что оно положительное. Итак, в правом интервале значение неравенства положительное, тогда в среднем (при переходе через ноль) - отрицательное, а в левом (при ещё одном переходе через ноль) опять положительное. И ещё одна тонкость. Если переход через ноль в знаменателе (т.е. при х=-3,5) само значение не входит в интервал решений.

Итак получаем решение в виде двух интервалов x<-3/5 и х>=1/2. Эти интервалы нужно объединить значком "объединение" (перевёрнутое "U"), но я не могу поставить такой символ, поэтому я поставлю символ @. Решение пишем в виде (x<-3/5 @ х>1/2). Не -забываем, что вместо @ нужно написать (перевёрнутое "U").