область допустимых значений
x<12
x#0
x#1
а поскольку ещё фигурирует и sqrt(x), то x>0
Если я правильно понял запись, то
слева переходим к другому основанию и используем тот факт, что (x-12)^2 = (12 - x)^2
log_sqrtx(x-12)^2+1 = 4 log_x (12-x) +1
справа переходим к логарифму произведения и раскрываем квадрат
log^2_x(12x-x^2) = (log_x(x*(12-x)))^2 = 1 + 2 log_x (12-x) + log^2_x (12 - x)
Единицы уходят, останется
2 log_x (12 - x) >= log^2_x (12 - x) {1}
2 >= log_x (12 - x)
решаем x^2 + x - 12 = 0
x1,2 = -0,5 +- 3,5
x1 = -4; x2 = 3
Подходит интервал от 3 до 12, но есть одна оговорка
в неравенстве, которое я пометил {1} сокращать на log_x (12 - x)
можно лишь при условии, что log_x (12 - x)>0
Если log_x (12 - x)<0
то при сокращении знак меняется на противоположный
это возможно лишь при х<1 и x>11
но эта область для начального уравнения сразу даёт минус слева и плюс за счёт квадрата справа. То есть неравенство не выполняется.
Окончательный ответ 3<=x<=11
