При решении неравенств всегда полезно определить ОДЗ. В нашем случае ОДЗ определяется условиями, что знаменатели обеих дробей не должны равняться нулю. Значит ОДЗ х=/=1 и х=/=-2.
Когда выражения, содержащие неизвестные есть в обеих частях неравенства, их нужно перенести в одну часть а потом уже производить всякие преобразования.
Итак:
1/(x-1)>-1/(x+2);
1/(x-1)+1/(x+2)>0;
Теперь можно привести к общему знаменателю:
(x+2)/((x-1)*(x+2))+1*(x-1)/((x+2)*(x-1))>0;
((x+2)+(x-1))/((x+2)*(x-1))>0;
(2x-1)/((x+2)*(x-1))>0;
2*(x-1/2)/((x+2)*(x-1))>0;
Делим обе части неравенства на 2:
(x-1/2)/((x+2)*(x-1))>0;
Выписываем значения х, при которых имеющиеся разности обращаются в ноль. Это значения -2, 1/2 и 1. Эти значения разбивают числовую ось на 4 интервала: первый x<-2, второй -2<x<1/2, третий 1/2<x<1 и четвёртый x>1. Проверяем значение конечного неравенства в 4 интервале, т.е. при ч>1, например х=2. Получаем 1,5/(4*1)=3/8. Само значение неважно, важно что оно положительное. Значит в 3 интервале конечная дробь принимает отрицательные значения, во втором - положительные и в первом - отрицательные. Ответ такой: объединение интервалов -2<x<1/2 и x>1. записывается в виде (-2<x<1/2 U x>1), только символ U нужно перевернуть.
