Question

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой AB и плоскостью SBC. (желательно с чертежом)

Answer 1

В данной пирамиде в основании лежит правильный шестиугольник. В нём АВ║СF, значит угол между СО и плоскостью SBC такой же, как и между стороной АВ и той же плоскостью.
SM - апофема грани SBC, OK⊥SM, SM∈SBC, значит СК⊥ОК.
Тр-ник СКО прямоугольный, значит ∠КСО - угол между СО и плоскостью SBC.
Тр-ник ВОС равносторонний. СО=ВС=1.
ОМ - высота правильного тр-ка. ОМ=а√3/2=ВС√3/2=√3/2.
В тр-ке SMB BM=BC/2=0.5. SM=√(SB²-BM²)=√(4-0.25)=√3.75.
В тр-ке SMO cosM=OM/SM=√3/(2√3.75).
sin²M=1-cos²M=1-3/15=12/15.
В тр-ке ОКМ ОК=ОМ·sinM=√3·√12/(2√15)=3/√15=√15/5.
В тр-ке СКО sin(КСО)=КО/СО=√15/5.
∠КСО=arcsin√15/5≈50.8° - это ответ.