Question

Апофема правильной 4х угольной пирамиды 6см,высота пирамиды равна 3 корня из 2 см.Найти:а)сторону основания пирамиды

б)угол между боковой гранью и плоскостью основания

в)угол,образованный боковым ребром и плоскостью основания

г)площадь боковой поверхности

д)площадь полной поверхности

Answer 1

Пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

---------

Апофема МН -высота боковой грани ⇒ МН⊥ стороне основания. 

По т. о 3-х перпендикулярах её проекция ОН ⊥ АД и потому ОН параллельна АВ и равна её половине.  ⇒ АВ=2 ОН

а) По т.Пифагора ОН=√(МН*-МО*)=√(36-18)=3√2

АВ=2•3√2=6√2 см

б) Угол между двумя плоскостями - угол между перпендикулярами, проведенными в этих плоскостях к одной точке на линии их пересечения. Т.к. ОН=ОМ, прямоугольный ∆ МОН - равнобедренный. Углы при МН=90°:2=45° Искомый ∠МНО=45°. 

в) Угол, образованный боковым ребром и плоскостью АВСД - ∠МВО, тангенс которого МО:ОВ. 

ВД - диагональ квадрата и равна АВ•√2=6√2•√2=12, откуда ВО=6

tg ∠MOB=(3√2)/6=√2/2 или иначе  ≈0.7071067811865475  По тангенсу с помощью инженерного калькулятора (или по т.Брадиса) находим ∠MOB ≈35,264°

г)Площадь боковой поверхности равна половине произведения апофемы на периметр основания. 

Sбок=0,5•4•6•6√2=72√2 см²

д) Площадь всей поверхности пирамиды - сумма площадей боковой поверхности  и  основания. 

Sосн= (6√2)²=72 см²

S полн= 72√2+72=72•(√2+1)≈173,823 см²