Question

Дан треугольник АВС. Точка К делит сторону АВ в отношении АК:КВ=2:3,

точка L делит сторону ВС в отношении BL:LC=1:2, точка М делит сторону АС в отношении АМ:МС=1:3. ВМ пересекается с KL в точке О. Найти отношение ВО:ОМ-?

Answer 1

Обозначим треугольник АВС(смотри рисунок). Прооведём прямые МК и МL. А ткже высоты в иреугольниках MBL и MKB  соответственно h1 и h2.  Очевидно, что ВО:ОМ будет равно отношению площадей треугольников BOL и MOL. Поскольку высота h1 у них общая. Вот и будем искать эти площади выражая их через площадь треугольника АВС. Поскольку АМ:МС=1:3, то так же относятся и площади треугольников АВМ и МВС. Аналогично находим площадь треугольника МВL из треугольника МВС и площадь МКВ из АВМ. У треугольников МВL и МКВ общее основание ВМ поэтому их площади относятся как их высоты h1:h2.  А площади ВОL и ВОК относятся как их высоты h1:h2, потому, что у них общее основание ОВ. Дальше находим площади  ВОL и MOL. Ответ ВО:ОМ=1.