Question

Через вершину A прямоугольника ABCD проведена наклонная AM к плоскоcти прямоугольника, составляющая углы α со cторонами AD и AB. Найдите синус угла между этой наклонной и плоскоcтью прямоугольника.

Возможный ответ: √2sin²α-1

Answer 1

Раз углы равны - то можно рассмотреть квадрат авсд со стороной а . и прямоугольный параллелепипепед. А...D1 с высотой h .
тогда по условию тр. АС1В
sin a = √(a^2+h^2)/a. = С1В/АВ
sin^2 a* a^2= a^2+h^2
h/a= √(sin^2 a-1).
a найти нужно CC1/AC
sin b = h/√2a = √((sin^2 a-1)/2)

Answer 2

АВСД - квадрат, ∠МАД=∠МАВ=α, МН⊥АВСД, значит Н∈АС.
МК⊥АД.
Пусть АМ=х.
В тр-ке АМК АК=АМ·cosα=xcosα.
НК⊥АД, ∠НАК=45°, значит АН=АК√2=х√2·cosα.
В тр-ке АМН cos∠МАН=cosβ=АН/АМ=(х√2·cosα)/2=√2·cosα.
sin²β=1-cos²β=1-2cos²α=1-2(1-sin²α)=2sin²α-1.
Итак, sinβ=√(1-2cos²α)=√(2sin²α-1) - это ответ (на выбор))