Элементарно.
f'*dX=X*dX=X*X/2+C, Если решать графически, то еще проще, рисуешь Y=X и получаешь как бы треугольник, гипотенуза это f'=Y, а значения по ординате и абсцисс - X, но так как X=Y, то получается значения ординаты и абсцисс равны, по определению интеграл это площадь под графиком кривой, т.е. под f', значит осталось ток и найти площадь треугольника, который прямоугольный, т.к. Y перпендикулярна X. Площадь прямоугольного треугольника по определению равна A*B/2=A*A/2, т.к. у нас катеты равны, но не забываем добавляем C, потому что не в частном случаи имело быть место сдвигу вдоль оси Y, ибо треугольник необязательно проходит через точку (x=0,y=0) и (x=A,y=A) (данное свойство связано с системой координат, мы как бы знаем характер кривой, но не знаем к какому - началу координат она привязана и что бы площадь была верно найдена, переписываем уравнение A*A/2+С1*X или иначе A*A/2+C1*X=X*X/2+C1*<wbr />X=X*(X/2+C1)=X*X/2+C<wbr />. Если все же считать, что f'=y=x и проходит через (x=0,y=0) на интервале вдоль оси X (0...X=A), то получаем X*dX=X*X/2, однако это возможно только при условии определенности границ интегрирования, если же не известно ни начала ни конца, то это не верно!
Int t^2 dt в неопределенном интеграле обозначает по какому параметру-переменной - интегрируется функция-dt-дельта t
Универсальная тригонометрическая подстановка
t = tg(x/2), отсюда sin x = 2t/(1+t^2), cos t = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2)
1) Int dx/(5cos x + 10sin x) = Int 2dt/(1+t^2):(5(1-t^2)/(1+t^2) + 20t/(1+t^2)) = Int 2dt/(1+t^2)*(1+t^2)/(-5t^2+20t+5) =
= -2/5*Int dt/(t^2-4t-1)
Дальше можно методом неопределенных коэффициентов. Для этого разложим знаменатель на множители.
t^2 - 4t - 1 = 0
D/4 = 2^2 - (-1) = 5
t1 = 2 - √5, t2 = 2 + √5
-2/5*Int dt/(t^2-4t-1) = -2/5*Int (A/(t-2+√5) + B/(t-2-√5)) dt = -2/5*Int (A(t-2-√5) + B(t-2+√5)) / ((t-2-√5)(t-2+√5)) dt =
= -2/5*Int (t(A+B) + (-2A-A√5-2B+B√5))/(t^2-4t-1) dt = -2/5*Int 1/(t^2-4t-1) dt
Коэффициенты при одинаковых членах должны быть одинаковы
{ A + B = 0
{ -2A - A√5 - 2B + B√5 = 1
Подставляем
{ B = -A
{ -2A -A√5 + 2A - A√5 = -2A√5 = 1
Получаем
{ A = - 1/(2√5) = -√5/10
{ B = -A = √5/10
Подставляем в интеграл
-2/5*Int (A/(t-2+√5) + B/(t-2-√5)) dt = -2/5*Int [-√5/(10(t-2+√5)) + √5/(10(t-2-√5))] dt = -2√5/50*Int(1/(t-2-√5) - 1/(t-2+√5)) dt =
= -2√5/50*(ln |t-2-√5| - ln |t-2+√5|) + C = -2√5/50*(ln |tg(x/2)-2-√5| - ln |tg(x/2)-2+√5|) + C
Второй делается точно также.
1). Чтобы развязать первую задачу сначала нужно построить графики функций. (Рисунок приводить не буду). Дальше чтобы найти пределы интегрирования для этой задачи, нужно найти точки пересечений двух линий (развязать систему уравнений y=2x^2 и y=x+1). Развязав мы получим два значения х: x1=-1/2 и x2=1.
Теперь площадь искомой фигуры будет разницей площадей криволинейной трапеций ограниченной сверху линией y=x+1 и криволинейной трапеции ограниченной сверху линией y=2x^2. Слева линией х=-1/2, справа линией х=1 и снизу линией у=0.:
S(фигуры)=integral{-1/2;1}((x+1)dx) - integral{-1/2;1}(2x^2*dx) = (((x^2)/2)+x){-1/2;1} - (2*x^3)/3{-1/2;1} = (1/2+1-1/8+1/2) - (2/3+1/12) = 15/8-9/12=(60-18)/24 = 42/24 = 7/4
выражение {-1/2;1} - границы интегрирования.
2) Поскольку в этом примере на заданных границах pi/2 и 3*pi/2 значения функции y = cos(x) отрицательны, то заменим функцию на y = -cos(x). Получим ту же функцию, но которая будет иметь позитивные значения у (отзеркаленная относительно оси х). Развязываем
integral{3*pi/2; pi/2} (-cos(x)dx) = -integral{3*pi/2; pi/2}(cos(x)dx) = -sin(x){3*pi/2; pi/2} = - (-1-1) = -(-2) = 2.
Ответ =2.
3) В задаче нам даны границы по у. Сначала нам нужно в функции у=5-х выразить х через у. Получим х=5-у. Это и есть наша функция интегрирования.
integral{4;1}((5-y)dy) = (5y-y^2/2){4;1} = (20-8) - (5-1/2) = 16-4.5 = 11.5
Ответ = 11,5.
Мог где-то в арифметике ошибиться, так что лучше перепроверить.
Используя формулу, пределы функции, соответствующую систему координат.
Более подробно на картинке.
Еще более подробно здесь (примеры с решением)!
P.S. Для нахождения длины дуги необходимо уметь вычислять производную функции, поэтому рекомендую также почитать
об этом.
