Используя формулу, пределы функции, соответствующую систему координат.
Более подробно на картинке.
Еще более подробно здесь (примеры с решением)!
P.S. Для нахождения длины дуги необходимо уметь вычислять производную функции, поэтому рекомендую также почитать
об этом.
А не нужно совсем это делать-гуманитариям объяснять магию чего-то математического.
Ну а если попытаться, то интеграл- это своеобразный "объединитель" того, чего тебе нужно.Из маленьких кусочков чего-то (аргумента) , которое составляет общее целое (функция) Интеграл собирает и получает нечто новое, которое выглядит не похожим на то, что было.
И наоборот, когда интегральную функцию хотим раздробить, и представить из чего же она состоит, это будет называться дифференцированием.
А ещё магию можно показать на примере: нарисуй кривую, ну такую, пусть синусоиду, пусть тяп-ляп, и сказать, вот тебе просто кривая, а инотеграл это то, что под кривой, то есть вся площадка.Но при этом всё нарисовать в координатах ХОУ.
И делать это нужно непринуждённо, типа всё просто, как день.
Универсальная тригонометрическая подстановка
t = tg(x/2), отсюда sin x = 2t/(1+t^2), cos t = (1-t^2)/(1+t^2), dx = 2dt/(1+t^2)
1) Int dx/(5cos x + 10sin x) = Int 2dt/(1+t^2):(5(1-t^2)/(1+t^2) + 20t/(1+t^2)) = Int 2dt/(1+t^2)*(1+t^2)/(-5t^2+20t+5) =
= -2/5*Int dt/(t^2-4t-1)
Дальше можно методом неопределенных коэффициентов. Для этого разложим знаменатель на множители.
t^2 - 4t - 1 = 0
D/4 = 2^2 - (-1) = 5
t1 = 2 - √5, t2 = 2 + √5
-2/5*Int dt/(t^2-4t-1) = -2/5*Int (A/(t-2+√5) + B/(t-2-√5)) dt = -2/5*Int (A(t-2-√5) + B(t-2+√5)) / ((t-2-√5)(t-2+√5)) dt =
= -2/5*Int (t(A+B) + (-2A-A√5-2B+B√5))/(t^2-4t-1) dt = -2/5*Int 1/(t^2-4t-1) dt
Коэффициенты при одинаковых членах должны быть одинаковы
{ A + B = 0
{ -2A - A√5 - 2B + B√5 = 1
Подставляем
{ B = -A
{ -2A -A√5 + 2A - A√5 = -2A√5 = 1
Получаем
{ A = - 1/(2√5) = -√5/10
{ B = -A = √5/10
Подставляем в интеграл
-2/5*Int (A/(t-2+√5) + B/(t-2-√5)) dt = -2/5*Int [-√5/(10(t-2+√5)) + √5/(10(t-2-√5))] dt = -2√5/50*Int(1/(t-2-√5) - 1/(t-2+√5)) dt =
= -2√5/50*(ln |t-2-√5| - ln |t-2+√5|) + C = -2√5/50*(ln |tg(x/2)-2-√5| - ln |tg(x/2)-2+√5|) + C
Второй делается точно также.
Int t^2 dt в неопределенном интеграле обозначает по какому параметру-переменной - интегрируется функция-dt-дельта t
В смысле "разгадать"?
Считайте что это латинская "S" от слова "сумма", только слагаемые очень мелкие и их очень много, от того и "S" вытянута.
