Question

Как вычислить определённый интеграл от –1 до 1 функции f(x) = 1/(x^2)?

Вот такой интеграл:

Есть ещё дополнительный вопрос, если позволите: существуют ли в настоящее время калькуляторы, которые могут такое вычислить? Было бы интересно это узнать, чисто из любопытства.

Answer 1

И чего здесь особо сложного?

Есть степенная функция вида (x)^-2..

Её первообразная будет -1/х.. Можно проверить дифференцированием..

Подставляем пределы 1 и -1..

Получаем -2..

В чём здесь "загадочность" данного интеграла?

Answer 2

Не могу назвать себя крупным знатоком высшей математики, но попробую объяснить, в чём здесь загвоздка. Значение интеграла, приведённого в условии вопроса, не равно минус двум.

Вот рисунок в координатной плоскости. Понятно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 1/(x^2), x = –1 и x = 1, не может быть отрицательной. Этот случай рассмотрен, например, Марком Яковлевичем Выгодским в его "Справочнике по высшей математике".

Дело в том, что формула Ньютона – Лейбница работает только в том случае, когда функция f(x) непрерывна на всём отрезке [a, b] (см. ссылку). А в нашем случае мы имеем функцию f(x) = 1/(x^2), и она в точке x = 0 терпит разрыв, так как не определена.

Так что, по-видимому, приведённый интеграл расходится. Его значение равно плюс бесконечности.

Что касается калькуляторов, то мой графический калькулятор Sharp EL-9400 Equation Editor при попытке вычислить данный определённый интеграл показал Error 02 (Calculate), то есть ошибка вычислений, в данном случае переполнение.