Чисто техническая безыдейная задача. Решение — труд физический.
Расстояние между точками касания легко считается:
(r₂ + r₁)² = (r₂ − r₁)² + d² => d = 2√r₁r₂.
Угол можно считать по-разному. Например:
tg(ª⁄₂) = (r₂ − r₁) / 2√r₁r₂ = (r₃ − r₂) / 2√r₃r₂ = 2r√q;
Можно положить r₁ = r, тогда r₂ = qr; r₃ = q²r; r₄ = q³r; r₅ = q⁴r;
где q = 2tg²(ª⁄₂) + 2tg(ª⁄₂) / cos(ª⁄₂) (А).
Из подобия прямоугольных треугольников (см. рис.) следует:
(r + 2qr) / r = (2rq² + 2rq³ + rq⁴) / rq⁴.
Или:
(2q + 1)q² = 2 + 2q + q²,
откуда:
q³ = q + 1; q ≈ 1,3247.
Обозначим tg²(ª⁄₂) = x, тогда из (А) следует:
(q − 2x)² = 4x(1 + x),
откуда:
4x = q²/(q + 1) = 1/q.
Или:
tg²(ª⁄₂) = 1/4q.
У меня получилось решение, но оно не полностью подходит условиям задачи. Исходную фигуру я разделил четырьмя прямыми не на 4 части, а на 9. Из них и можно сложить квадрат стороной равной корень из 17. То, что квадрат должен иметь такую сторону понятно, ведь площадь исходной фигуры равно 17 квадратам (состоит из 17 одинаковых квадратов). Собственно идея решения и состоит в том, чтобы строить сначала такой квадрат и потом уже разбивать фигуру. В моем варианте решения разбиение происходит по диагоналям прямоугольников со сторонами 4 и 1 (4^2 +1^2 = 17).
Решение ясно из рисунка.
Кажется докумекал. Идея прежняя, но я в первом варианте провел линии чуть ниже и чуть не так. Привожу второе решение, где фигура разбивается на 4 части и в результате сложения этих частей получается квадрат стороной корень из 17!!!
Решение понятно из рисунка.
Ставим нижнюю часть вверх, левую вправо, а самую маленькую сами знаете куда))
Ну-у... наверное можно. Ведь в геометрии Евклида молчаливо предполагается, что смещение или повороты фигуры как целого не изменяют её. То есть если сместить/повернуть треугольник как целое, или даже сместить все его вершины, но на равные расстояния и строго в одну и ту же сторону, треугольник не изменится.
Значит, этим и можно воспользоваться. К примеру, провести через все вершины треугольника параллельные прямые и отложить на них равные отрезки от каждой вершины треугольника - это создаст его точную копию. Точно так же можно провести концентрические окружности через все три вершины и отложить на них точки, отстоящие от исходных вершин на один и тот же центральный угол. Это тоже создаст точную копию.
Не знаю, правда, можно ли считать это "без опоры на ПРТ", потому что если треугольники равны, то признаки равенства для них всё равно соблюдаются, и с этим ничего не поделать...
Обычно, в математике, площадь фигуры принято обозначать латинской большой буквой S.
Возможно, это произошло от того, что английское слово площадь пишется как surface. Просто взяли первую букву слова и стали для удобства ей обозначать площадь фигуры.
Тангенс это отношение синуса к косинусу. Синус 45 градусов равен квадратному корню из двух, поделенному на два. Косинус 45 градусов равен ровно такому же числу, значит их отношение будет равно единице.