Если знаменатель можно разбить на множители, то методом неопределенных коэффициентов.
Если нельзя - тогда преобразовать знаменатель в сумму квадратов, в ответе получится арктангенс.
1) Int dx/(4x^2 + 7x + 9)
4x^2 + 7x + 9 = 0
D = 7^2 - 4*4*9 = 49 - 144 < 0 - значит, преобразуем в сумму квадратов
4x^2 + 7x + 9 = (2x)^2 + 2*(2x)*(7/4) + (7/4)^2 - (7/4)^2 + 9 = (2x + 7/4)^2 + (9 - 49/16) = (2x+7/4)^2 + (144-49)/16 =
= (2x+7/4)^2 + 95/16 = (8x+7)^2/16 + 95/16 = 1/16*((8x+7)^2 + 95)
Возвращаемся к интегралу
Int dx/(4x^2 + 7x + 9) = 16*Int dx/[(8x+7)^2 + 95]
Замена 8x+7 = t, x = (t-7)/8, dx = dt/8
16*Int dx/[(8x+7)^2 + 95] = 16*1/8*Int dt/(t^2 + 95) = 2*1/√95*arctg (t/√95) + C = 2/(√95)*arctg ((8x+7)/√95) + C
2) Int (3x-2)/(9x^2-2x+3) dx
Здесь есть x в числителе, поэтому надо выделить производную от знаменателя. Замена
t = 9x^2-2x+3, dt = (18x-2) dx
Int (3x-2)/(9x^2-2x+3) dx = Int (18x-12)/6*1/(9x^2-2x+3) dx = Int ((18x-2)/6 - 10/6)*1/(9x^2-2x+3) dx =
= Int (18x-2)/6*1/(9x^2-2x+3) dx - Int 5/3*1/(9x^2-2x+3) dx = 1/6*Int dt/t - 5/3*Int dx/(9x^2-2x+3)
1 интеграл табличный, он равен логарифму
1/6*Int dt/t = 1/6*ln|t| = 1/6*ln|9x^2-2x+3|
2 интеграл берем, как в 1) задаче, через сумму квадратов
9x^2 - 2x + 3 = (3x)^2 - 2*(3x)*(1/3) + (1/3)^2 - (1/3)^2 + 3 = (3x-1/3)^2 + (3-1/9) = (9x-1)^2/9 + 26/9 = 1/9*((9x-1)^2 + 26)
Подставляем в интеграл
5/3*Int dx/(9x^2-2x+3) = 5/3*9*Int dx/((9x-1)^2 + 26) = 15*Int dx/((9x-1)^2 + 26)
Замена 9x-1 = y, x = (y+1)/9, dx = dy/9
15*Int dx/((9x-1)^2 + 26) = 15/9*Int dy/(y^2 + 26) = 5/3*1/√26*arctg(y/√26) = 5/(3√26)*arctg ((9x-1)/√26)
Все вместе
Int (3x-2)/(9x^2-2x+3) dx = 1/6*ln|9x^2-2x+3| - 5/(3√26)*arctg ((9x-1)/√26) + С
