Question

Как вычислить определенный эллиптический интеграл второго порядка?

Возникла необходимость вычислить значение определенного интеграла. Численные компьютерные методы, при больших значениях исходных данных, дают недопустимую погрешность за счет многократных округлений. Интеграл необходимо решить аналитически.

Онлайн калькулятор выдал такой ответ.

Очевидно, что скобка помеченная буквой "Е" имеет специфическое применение. Это стандартная форма записи для многих интернет ресурсов. Проблема в том, что я не математик и найти ответ в интернете по поводу ее использования не удалось.

Не будем утомлять себя громоздкой формулой. Предположим, что у нас есть функция со следующим решением. Где "k;m;a;b;c" числа.

Как правильно расписать подстановку нижнего и верхнего пределов интегрирования для получения численного ответа?

Answer 1

Итак, как известно, многие интегралы не имеют аналитического решения..

Т.е. по функции всегда можно найти производную, а вот первообразная от данной функции может не существовать..

Как раз эллиптические интегралы относятся к тем функциям, аналитического решения которых в общем случае нет..

Для нахождения решения эллиптических интегралов применяется разложение в степенной ряд (например Тэйлора), при этом количество учитываемых членов зависит от необходимой точности..

Также вычисление интеграла может производиться различными численными методами, например методом трапеций, методом Симпосона, вероятностными методами типа метода Монте-Карло..

Те программы, что используют данные методы должны иметь возможность повышать точность в зависимости от заданной..

Т.е. должна задаваться необходимая точность, программа, учитывая её производит вычисления..

Таким образом программа повышает точность либо увеличением разбиения функции на элементарные фигуры типа трапеций, либо учётом бОльшего количества членов при разложении в ряд..

Если программа допускает "большие погрешности", то либо это не доработанная программа, либо пользователь не разобрался с управлением и не нашёл, как правильно задавать точность вычисления..

Можно, например, воспользоваться пакетом программ Маткад, который может дать численное вычисление с наперёд заданной точностью..

Нахождение аналитического решения большинства эллиптических функций такая бесперспективная задача, что и нахождение трисекции угла..

Answer 2

Вот решил дополнить ответ и конкретизировать..

Итак, как известно, эллиптические интегралы в общем случае не имеют аналитического решения..

Но можно подобрать почти аналитическое решение..

Как сказано ранее, не решаемые аналитически интегралы могут решены быть почти аналитически, для этого интеграл раскладывают в степенной ряд и находят решения простых членов ряда вплоть до указанного члена исходя из необходимой точности..

Для эллиптического интеграла второго рода эта формула имеет вид:

1/sqrt(1+E)((ф+E sin(2ф)/4)|ф1, ф2

где E=k^2/(2-k^2)..

Эта формула использует разложение по двум членам, при этом точность вычисления эпсилон равна порядка одной миллионной, если добавить ещё 2 члена из ряда, то точность повысится в 500 раз!..

Называется это аппроксимацией эллиптических интегралов..