Правильный вариант написания - продлевать. В слове присутствует суффикс -ева-, но не тот, который содержится в словах "бушевать", "тушевать" и др. Последний чередуется с -уj- в личных формах (ср.: бушует, тушуется), а в слове "продлевать" такого чередования нет.
-ева- в этом слове - вариант -ва-, как в словах "запевать", "запивать", "подливать" и др. Его опознавательный признак - ударность.
Кроме того, написание слов с этим суффиксом соответствует правилу: перед -ва- пишем тот глагольный суффикс, который присутствует в инфинитиве, ср.: запевать - запеть; заливать - залить; подливать - подлить и т.д.
Исключения: затмевать, застревать, увещевать, продлевать.
Так что это слово "продлевать" надо запомнить, причем в ряду других таких же исключений.