Любые, квадратный корень это по сути степень, главное помнить, что у него есть родственник модуль, если допустим под корнем переменная "a" в квадрате - то это а либо с "-", либо может быть с "+", и что при извлечение допусти -1 из квадратного корня, обязательно нужно помнить, что будет не просто 1 а 1*i.
Все остальное как у всех.
Вообщем самое главные свойства:
((n*a)^2)^0.5=|a|=[-a a];
(-1*(n*a)^2)^0.5=i*a,
где n - это либо -1, либо +1.
Все остальные свойства не заслуживают внимания, так как в школе о них почти не говорят, в ВУЗе мелькает только мнимая единица.
Это почему же? Вы задачи с параметрами не решали или может не знаете где комплексная единица используется? Я не понимаю, вы где-нибудь учились, уже все ровно, в школе, вузе, да хоть в пту?
Давайте объясню на примере, если вам так трудно даются формулы, начнем по порядку. ((n*a)^2)^0.5=|a|=[-a a] - ну тут речь бонально о том, что число излекаемое из корня так-то может быть и положительным и отрицательным, т.е. оба варианта возможны, чаще всего конечно пишут, что оно положительное, но это ошибка, и сейчас поясню почему: "((-1*5)^2)^0.5=5" но может быть и так "((+1*5)^2)^0.5=5", получается трудно сказать, какое же "а", положительное или отрицательное, поэтому мы записываем его как вектор-строку "[-a a]", можно конечно переписать иначе, "±a", но мне такая форма записи кажется глупой, для школьника в самый раз, но не для магистра, доцента или профессора.
Что же касается записи "(-1*(n*a)^2)^0.5=i*a", тут и того проще "(-1*(-1*a)^2)^0.5=i*5" , мы извлекаем из под корня "5" и "i - мнимую единицу" одновременно, однако это же можно представить и так: (-1*(1*a)^2)^0.5=i*5 координально ничего не меняется, тут еще все проще комплексное число представляется на плоскости в виде точки и радиуса вектора к ней с соответствующей мнимой координатой. Я не стал рассматривать более сложный случай, когда еще есть и вещественная, так как это как по мне лишняя, все же это уже дальше темы - свойств квадратного корня.
Поэтому впредь думайте, что вы пишите, я хорошо знаю все о чем пишу, в прошлом курировал студентов и школьников, но сейчас мне лень, я ни с кем не занимаюсь, так как в принципе вышел на новый уровень саморазвития.
Если опять не поняли, смотрите еще раз: "((-1*5)^2)^0.5=5" и "((+1*5)^2)^0.5=5" я явно указал, какое число я возвожу в квадрат и потом какое из него извлекаю, по идеи я должен, что возвести, то и извлечь, но с четной степень так не работает, потому как вообще говоря история этого квадратного корня берется от квадратных уравнений, где две неизвестные, например решая уравнение "x^2-25=0", вы найдете корень как "-5", так и "+5". Собственно данное свойство легко и применяется при решении уравнения, вот как: 1) x^2-25=0; 2) x^2=25; 3) x=|5|; 4) x=[-5 5]. У меня все, да так в школе не решают, но это не значит, что так решать нельзя, может если б школьники знали как так решать, такие б уравнения решали устно в одно действия, применяя данное свойство.
Комплексные объяснять не буду, все ровно тот кто интересуется корнем учится по любому в школе, да и как я и сказал раньше, нет ничего проще чем вузовской, магистерской программы, школьником намного тяжелее, потому как чушь всякую в мозги впаривают, лучше вообще не учится в школе, предметы все бесполезные и ненужные. Но опять же на примере аналогичного ранее написанного уравнения можно рассмотреть: 1) x^2+25=0; 2) x^2=-25 3) x=|i*5|; 4) x=[-i*5 i*5], правда решив его заметил, я там написал один комплексный корень, ну думаю понятно, что если степень вторая, то же корня 2, но число однако как правило пишут положительное, так же как и вещественными корнями, это ошибка (но тут уже моя недописка, но не суть важная, кто в теме, тот поймет, а школьникам опять повторю - это не нужно). Так для общего развития.
Все, если считаете, что я не прав, пишите конкретику, а если я не дописал, то лучше б так и сказали, что я упустил, все остальные свойства я специально не стал разбирать, потому как они не достойны внимания.
Если нужно извлечь корень допустим-из шестизначного числа,то сначала смотрят между какими числами корень расположится:пусть извлечь V877969,сразу смотрим на число без 2 -х или 4-х разрядов.Это 87,V87>9 т.к.V81=9.Смотрим теперь к чему ближе наше число:900^2=810000...877969...10^2=1000000.Конечно корень ближе к 900,значит меньше 950.Сразу проверим 940*940=883600,то есть меньше 940.Проверим 930*930=864900,значит корень лежит между 930 и 940,осталось 3-ю цифру определить.877969-на конце цифра 9.Значит под корнем или 3,или7 в конце.Простым умножением проверяем 933*933=870489 и 937*937=877969.Не совсем устно,учитывая умножение 3-значных чисел в столбик на бумажке,но обойдетесь без калькулятора точно.
Вы получили корень уравнения √(х+3)-√(х)=1 (или √(х)-√(х+3)=-1). При возведении в квадрат и того и другого и исходного получается одно и то же выражение. А вот исходное уравнение не имеет решения. Чтобы убедиться в этом, достаточно построить графики функций у=√(х) и у=√(х+3).
График второй функции проходит выше, а значит разность этих функций всегда отрицательна.
Их лучше всего узнавать в лицо, представляя себе что на что надо умножить, чтобы получить то, что в корне. Корень из 4 = 2, корень из 16 = 4... Из отрицательных не вычисляется, но ответ может быть с плюсом и минусом, поскольку квадрат отрицательного числа - есть положительное число.
Ну и пример вычисления кв корня из 138384
Разбиваем на грани по двузначным числам 13 83 84 - в ответе будет трехзначное число.
Первая цифра 3, т.к. квадрат 3Х3<13, а 4Х4=16, что уже больше 13
Записываем 13-9=4 Приписываем ее к следующей части, получаем 483
Удваиваем полученную первую цифру 3*2=6
Подбираем цифру, которую приписываем к 6 и на нее же умножаем то, что получилось, чтобы произведение было менее 483. Пробуем цифру 8: 68*8=544, что больше 487. Берем цифру 7 - 67*7=469, что меньше 483 Итак в ответе уже 37. Далее
Вычитаем 483-469=14 Приписываем последнюю часть, в данном случае 84 получаем 1484
Удваиваем имеющуюся часть 37*2=74. Подбираем максимальную цифру по той же схеме, что и предыдущая. Возьмем 3 - получим 743*3=2229, что больше, чем 1484. Значит берем 2 - 742*2=1484
Ура. Наш результат 372. Если бы что-то не получилось, то поставили бы запятую и продолжили бы шпарить дальше.
