Прежде всего нужно "заметить" (или "догадаться") что выражение в скобках "[x–2√(x–1)]" можно расписать как [x-1–2√(x–1)+1]. И тогда становится видно, что оно является полным квадратом, т.е. либо [√(x–1)-1)]^2, либо [1-√(x–1)]^2, следовательно либо √[x–2√(x–1)]=√(x–1)-1,
либо √[x–2√(x–1)]=1-√(x–1). Поскольку при решении уравнений рассматривается только АРИФМЕТИЧЕСКИЙ корень (ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ), то нам в зависимости от знака нужно выбрать либо первый, либо второй вариант. Чтобы было проще, берётся МОДУЛЬ одного из этих выражений, например |√(x–1)-1|
Итак, получаем: √(x–1)+|√(x–1)-1|=1.
Далее определяем ОДЗ х-1>=0, или х>=1.
Далее определяем корни модуля, т.е. при каких значениях "х" подмодульное выражение равно нулю (меняет знак).
Итак: √(x–1)-1=0, √(x–1)=1, х-1=1, х=2.
Значит подмодульное выражение однократно меняет знак при х=2. При при х>=2 оно НЕОТРИЦАТЕЛЬНО. а при х<2 (не забываем, что ОДЗ х>=1, следовательно при 1<=x<2 ) оно ОТРИЦАТЕЛЬНО.
Значит при х>=2 уравнение будет таким: √(x–1)+√(x–1)-1=1.
Решаем его: 2√(x–1)=2, √(x–1)=1, x–1=1, х=2. Значит х=2 является его решением.
Далее рассмотрим промежуток 1<=x<2
В этом промежутке уравнение будет таким: √(x–1)+1-√(x–1)=1.
Получилось тождество (равенство независимое от значения "х". Это значит, что любое значение из промежутка 1<=x<2 является решением уравнения.
Итак, в промежутке 1<=x<2 решением является любое значение "х", а при значениях х>=2 имеет единственное решение х=2. Объединяя оба решения, получаем: 1<=x<=2.
Т.е. решением является ЛЮБОЕ значение Х из промежутка [1;2].
