39.27. Sabc=√3. Sabc=(1/2)*AC*BH. BH=(1/2)*BC (катет против угла 30°. По Пифагору: ВН²=ВС²-НС² или 4ВН²-ВН²=НС² или НС=ВН√3. АС=2ВН√3. Итак, (1/2)*2ВН²√3=√3 или ВН=1. So=πR²=π(√3)²=3π V=(1/3)*So*BH=(1/3)*3π*1=π. Ответ: V/π=1. 39.28. Sбок=10см². Это круговой сектор с центральным углом 36° и радиусом, равным образующей конуса L. Формула площади сектора: S=πR²α/360°, отсюда R=L=10/√π. С другой стороны, боковая поверхность конуса равна Sбок=πrL, где r - радиус основания конуса. Тогда 10см²=πr10/√π или r=√π/π. Тогда So=πr² или So=π*(√π/π)²=1см². Sполн=Sбок+So=11см². 39.29. Развертка боковой поверхности конуса - это круговой сектор с центральным углом 120° и радиусом, равным образующей конуса L. Формула площади сектора: S=πR²α/360°, отсюда S=πL²/3. С другой стороны, боковая поверхность конуса равна Sбок=πrL, где r - радиус основания конуса. Тогда πrL=πL²/3, отсюда L=3r. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой конуса, радиусом основания (катеты) и образующей конуса (гипотенуза) по Пифагору имеем: 36=9r²-r², отсюда r=3√2/2. Объум конуса равен (1/3)So*h или V=(1/3)πr²*6=2π(3√2/2)²=9π. Ответ: V/π=9. 39.30. V=2*V1, где V1- объем конуса с образующей, равной стороне ромба (1) и углом между образующей и основанием, равным половине острого угла ромба. Если острый угол равен 60°, то квадрат радиуса основания конуса (половина большой диагонали) равен по Пифагору r²=1-(0,5)²=0,75. Тогда V=2*(1/3)*π*0,75*0,5=0,25π. Ответ: V/π=0,25. 39.31. При вращении образуется фигура, площадь которой равна сумме площадей боковых поверхностей двух равных конусов с образующей a, равной стороне ромба и радиусом основания, равной h - высоте ромба и площади боковой поверхности цилиндра с радиусом основания, равным высоте ромба h и высотой цилиндра, равной стороне ромба а. То есть S=2*π*a*h + 2πa*h=4π*a*h. Но а*h=Q (дано). Значит S=4πQ. Ответ: S/πQ=4.
Пусть точка пересечения хорды АВ с диаметром КN (в задании не сходятся обозначения диаметра и рисунок) - это точка Р, проекция точки С на основание - точка С1. Отрезок ОС1 = 4/2 = 2 см. Тогда в треугольнике АОР катет ОР равен половине гипотенузы АО, то есть угол ОАР равен 30°. АР = 4*cos 30° = 4*(√3/2) = 2√3 см. АС1 = √(РС1² + АР²) = √((2+2)²+(2√3)²) = √(16+12) = √28 = 2√7 см. Высота ОМ конуса равна √(5²-4²) = √(25-16) = √9 = 3 см. Отрезок СС1 равен половине ОМ и равен (3/2) см. Сторона АВ = 2АР = 2*(2√3) = 4√3 см. Стороны АС и ВС равны: АС = ВС = √(АС1²+СС1²) = √(28+(9/4)) = √((112+9)/4) = √(121/4) = 11/2 = 5,5 см.
Угол А лежит против ВС; <С-против АВ;⇒ по теореме синусов:ВС/sinA=AB/sinC;⇒AB=BC·sinC/sinA; BC=√(2+√3);sinC=√2/2;sinA=sin105⁰=sin(90⁰+25⁰)=cos25⁰=0.9659 AB=(√(2+√3)·√2/2) / 0.9659=(√(4+2√3)/2)/0.9659;
