Question

Найдите углы треугольника, если известно, что медиана и высота, выходящие из вершины одного из его углов, делят этот угол на три равные части. В ответе укажите отношение величин максимального угла к минимальному.

Answer 1

Еще проще есть решение, практически устное и в 2 действия.
Под боковой стороной я понимаю те две стороны, которые выходят из той же вершины, что и высота, и медиана. Основание - это третья сторона треугольника.
1) В треугольнике, ограниченном меньшей боковой стороной и медианой, высота является биссектрисой, поэтому это равнобедренный треугольник. Поэтому отрезок между высотой и медианой равен половине половины основания :)
2) в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, большей боковой стороной и частью основания, медиана исходного треугольника тоже является биссектрисой. И, как показано в пункте 1), она делит катет этого прямоугольного треугольника на отрезки в отношении 1/2, считая от вершины прямого угла. То есть по свойству биссектрисы высота относится к большей боковой стороне, как 1/2;
То есть получился прямоугольный треугольник с углом в 30°;
3) само собой, отсюда получается, что угол исходного треугольника, из которого выходят высота и медиана, равен 90°, а третий угол 60°.
Уф... написать всё это намного сложнее, чем сообразить :)

Answer 2

Если  все  эти углы равны $a$  ,то получим что два остальных угла равны    $90-a; 90-2a$  
Получаем соотношение 
$\frac{BM}{sina } = \frac{AM}{cos2a}\\ \frac{BM}{sin2a} = \frac{AM}{cosa} \\ sin4a=sin2a \\ a=30а$ 
то есть углы равны  $90а;30а;60а$ 
$\frac{90а}{30а}=3$