Дано:
<span> - пирамида PMNKL (Р- вершина),
- её высота Н равна 8,
- угол </span>α между боковой гранью и плоскостью основания равен 60°.
1) <span>Найти объём пирамиды
</span>Находим сторону а основания:
а = 2*(Н/tg α) = 2*(8/√3) = 16/√3.
Площадь основания So = a² = 256/3.
Объём пирамиды: V = (1/3)So*H = (1/3)*(256/3)*8 = 2048/9 ≈ <span><span>227,5556.
2) </span></span>Найти величину угла между диагональю KM и гранью PKL.
Для этого надо спроецировать КМ на грань PKL, то есть провести плоскость, проходящую через отрезок КМ перпендикулярно плоскости PKL. Затем найти угол между диагональю КМ и её проекцией на грань PKL.
Удобнее всего спроецировать точку О (это основание высоты РО пирамиды и середина диагонали КМ).
Проведём осевую секущую плоскость перпендикулярно ребру основания KL. В сечении получим равнобедренный треугольник EPQ с высотой РО = Н.
Из точки О опустим перпендикуляр OU на PQ.
Отрезок QU, как лежащий против угла в (90-60=30°) равен половине OQ, то есть QU = (a/2)/2 = а/4 = 16/(4√3) = 4/√3.
Теперь перенесём этот отрезок в плоскость грани KPL на апофему PQ.
Апофема A = PQ = H/(sin 60°) = 8/(√3/2) = 16/√3.
Отсюда видим, что апофема A равна ребру а основания.
Поэтому угол между боковым ребром и ребром основания равен:
<PLK = arc tg (a/(a/2)) = arc tg 2 = <span>
63,43495</span>°.
Угол UKL = arc tg((4/√3)/(8/√3)) = arc tg (1/2) = <span>
26,56505</span>°.
Если продлить отрезок KU до пересечения с боковым ребром PL в точке Т, то получим треугольник KTL с двумя известными углами при ребре основания а и самим ребром а.
Угол KTL = 180°-63,43495°-26,56505° = 90°.
Находим длину КТ = KL*sin (<KLT) =a*(A/L) = a²/L (L - это боковое ребро).
L = √(A² + (a/2)²) = √((256/3)+(64/3)) = √(320/3).
KT = (256/3)/(√(320/3)) = 256/√960 = 256/(8√(15) = 32/√15.
Теперь находим искомый угол TKM из равнобедренного треугольника KTM по теореме косинусов:
<span><span /><span><span>
a
b
c
p
2p
S
</span><span>
8,26236447
13,063945
8,2623645
14,794337
29,58867424
33,04945789
</span><span>
68,2666667
170,66667
68,266667
</span><span>
6,53197265
1,7303918
6,5319726
73,830051
1092,266667
33,04945789
</span><span>
cos A =
0,7905694
cos B =
-0,25
cos С =
0,790569415
</span><span>
Аrad =
0,659058
Brad =
1,8234766
Сrad =
0,659058036
</span><span>
Аgr =
37,761244
Bgr =
104,47751
Сgr =
37,76124391
</span></span></span>
Ответ: угол ТКМ = 37,761244°.
Ясно, что сечение сферы плоскостью квадрата - это вписанная в квадрат окружность, и радиус её равен 1. При этом расстояние от центра до этого сечения √3; откуда R^2 = 1^2 + (<span>√3)^2 = 4; R = 2; - радиус сферы.</span>
<span>S=0.5d1*d2=0.5*12*16=96 (кв.см) - площадь ромба
</span>Диагоналями ромб разбивается еа четыре равных прямоугольных треугольника, катеты которых равны 6см и 8см (диагонали в точке пересеч.делятся пополам)
По теореме Пифагора находим сторону ромба, она является гипотенузой:36+64=10010см - сторона ромба<span>Р=10*4=40 (см) - периметр ромба </span>
Не будут. Т. к. периметр это сумма длин всех сторон, соответственные слагаемые в сумме могут отличатся. Например:
21=6+7+8
21=5+9+7
Если один из них образуют 90 градусов, тоесть вместе они должны быть 180 градусов и должны быть по одну сторону/
Удачи!