Дана правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, в основании которой лежит правильный шестиугольник. Если стороны основания AB=BC=CD=DE=EF=18, то AO=BO=CO=DO=EO=FO=18. И тогда в прямоугольном треугольнике, например ΔSOD, образованном высотой SO, боковым ребром SD=15 и проекцией бокового ребра на основание DO, катет DO=18 будет больше гипотенузы SD=15. То есть, боковые ребра у пирамиды с такими размерами не сойдутся сверху в вершину S.
В условии задачи ОШИБКА! Такая пирамида не существует.
Тогда рассмотрим решение этой задачи в общем случае. Пусть боковые ребра <em>SA=SB=SC=SD=SE=SF=b</em>, стороны основания <em>AB=BC=CD=DE=EF=AF=a.</em>
Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из шести равных равнобедренных треугольников.
ΔESD - равнобедренный, <em>SE=SD=b</em>, <em>ED=a</em>. Высота равнобедренного треугольника SK также является медианой ⇒ <em>EK=KD=a/2</em>
ΔSKD - прямоугольный, ∠SKD=90°. По теореме Пифагора
SD² = SK² + KD² ⇒ SK² = SD² - KD² = b² - (a/2)²
![\boldsymbol{SK=\sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cboldsymbol%7BSK%3D%5Csqrt%7Bb%5E2-%5CBig%28%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D%5CBig%29%5E2%7D%7D+)
![S_{SED}=\dfrac{ED\cdot SK}{2}=\dfrac{a\cdot \sqrt{b^2-(\frac{a}{2})^2}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=+S_%7BSED%7D%3D%5Cdfrac%7BED%5Ccdot+SK%7D%7B2%7D%3D%5Cdfrac%7Ba%5Ccdot+%5Csqrt%7Bb%5E2-%28%5Cfrac%7Ba%7D%7B2%7D%29%5E2%7D%7D%7B2%7D+++)
Площадь боковой поверхности пирамиды
![\boxed {\boldsymbol {S = 6\cdot S_{SED}=3a\cdot \sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cboxed+%7B%5Cboldsymbol+%7BS+%3D+6%5Ccdot+S_%7BSED%7D%3D3a%5Ccdot+%5Csqrt%7Bb%5E2-%5CBig%28%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D%5CBig%29%5E2%7D%7D%7D+)
===========================================
Допустим, боковое ребро пирамиды <em>b=13</em>, сторона основания <em>a=10</em>
![S = 3a\cdot \sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}} = 3\cdot 10\cdot \sqrt{13^2-\Big(\dfrac{10}{2}\Big)^2} =\\ \\ ~~~~=30\cdot \sqrt{169-25} =30\cdot 12=360](https://tex.z-dn.net/?f=+S+%3D+3a%5Ccdot+%5Csqrt%7Bb%5E2-%5CBig%28%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D%5CBig%29%5E2%7D%7D+%3D+3%5Ccdot+10%5Ccdot+%5Csqrt%7B13%5E2-%5CBig%28%5Cdfrac%7B10%7D%7B2%7D%5CBig%29%5E2%7D+%3D%5C%5C+%5C%5C+~~~~%3D30%5Ccdot+%5Csqrt%7B169-25%7D+%3D30%5Ccdot+12%3D360+)
==============================================
Допустим, боковое ребро пирамиды <em>b=41</em>, сторона основания <em>a=18</em>
![S = 3a\cdot \sqrt{b^2-\Big(\dfrac{a}{2}\Big)^2}} = 3\cdot 18\cdot \sqrt{41^2-\Big(\dfrac{18}{2}\Big)^2} =\\ \\ ~~~~=54\cdot \sqrt{1681-81} =54\cdot 40=2160](https://tex.z-dn.net/?f=+S+%3D+3a%5Ccdot+%5Csqrt%7Bb%5E2-%5CBig%28%5Cdfrac%7Ba%7D%7B2%7D%5CBig%29%5E2%7D%7D+%3D+3%5Ccdot+18%5Ccdot+%5Csqrt%7B41%5E2-%5CBig%28%5Cdfrac%7B18%7D%7B2%7D%5CBig%29%5E2%7D+%3D%5C%5C+%5C%5C+~~~~%3D54%5Ccdot+%5Csqrt%7B1681-81%7D+%3D54%5Ccdot+40%3D2160+)