Я для этой задачи сделаю исключение. Дело в том, что недавно возникла дискуссия о пользе теоремы Чевы. А это - очень хороший пример, когда задача просто устная благодаря этой теореме.
Нужна вспомогательная задача. Пусть есть произвольный треугольник ABC, и на стороне AB выбрана точка A1 так, что отношение BA1/A1C - фиксированное число k. Пусть на AA1 выбрана точка O, так что AO/OA1 - тоже заданное число m.
Легко видеть, что если построить две другие чевианы, проходящие через точку О, то отношения CB1/B1A = x и CA1/A1B = y будут однозначно определяться числами к и m, не зависимо от конкретного вида треугольника ABC. В самом деле
x + y = m (теорема Ван Обеля)
ky/x = 1 (теорема Чевы)
то есть y = m/(k + 1); x = km/(k + 1);
Теперь - к этой задаче.
Есть два треугольника - ACM и BCM. Для которых CH/HM = k одинаковое :) ну просто потому, что это общая сторона.
И кроме того AE/EH = BF/FH = m = 1;
Из вспомогательной задачи следует CP/PA = CQ/QB,
что означает PQ II AB; это все решение.
Заметьте, что нигде не использовано, что CM - высота, и что H - ортоцентр. То есть условие будет работать вообще для любых чевиан, а не только для высот.
Ответ:
Объяснение:
1)
Опустим высоту из вершины С на сторону АД (точка К).
ВС=АВ=4.
Из Δ ДСК найдем ДК.
ДК=√5²-4²=√25-16=3 см.
АД=4+3=7 см.
ср. линия : ( 4+7)/2=11/2=5,5 см.
2)
Катет НД=12/2=6. так как лежит против угла ДСН в 30° (180-90-60=30°).
СН=√12²-6²=√144-36=√108≈10,4 .
ВС=СН=10,4 по условию.
АД=6+10,4+6=22,4.
средняя линия: ( а+в)/2 ; (10,4+22,4)/2=16,4.
3)
Пусть верхнее основание будет х, нижнее 2х.
(х+2х)/2=30. (ср. линия).
3х=60.
х=60/3=20 (верхнее основание)
2*20=40. (нижнее основание).
Я тут без пояснений сделала. Могу с пояснениями,если надо.
